Ana Sayfa
Matematikçiler
Makaleler
=> Cahit Arf ile Röportaj
=> Türkçe'nin Matematiği
=> Güç ve Sıfır
=> Matematiği Hatırlamak ve Uygulamak
=> Matematiğin Dili
=> İrrasyonel Sayılar
=> Tümdengelim-Tümevarım
=> Atatürk'ün Matematiğe Katkıları
=> Türk-İslam Dünyasında Geometrinin Yeri
=> Bir Matematik Filozofu Olarak Kurt Gödel
=> Türk Matematikçiler
=> İlk Kadın Matematikçi Hypatia
=> Bernoulli Ailesi
=> Dört Renk Teoremi
=> Riemann Hipotezi
=> İkiz Asallar Sanısı
=> Matematiğin Kaynağı Doğadır
=> Matematiğin Temelleri Üzerine Uyuşmazlık Yüzyılı
=> matematik ve Diğer Canlılar
=> Numbers of Zeros
=> The Distributive Property
=> Hundreds Chart
=> What is Algebra? Why Take Algebra?
=> What is Geometry?
=> Matematik ve Müzik
Matematik Seçkileri
Fraktallar
Paradokslar
Sayılar Teorisi
İletişim
Ziyaretçi defteri
 

Bir Matematik Filozofu Olarak Kurt Gödel

Bir Matematik Filozofu Olarak Kurt Gödel

 

Bekir S. Gür

 

Yirminci yüzyıldaki hiçbir matematik teoremi, Gödel'in eksiklik teoremleri kadar, matematikçilerin yanında matematikçi olmayanların da ilgisini çekmemiştir. Eksiklik teoremlerinin bu kadar tartışılması, kuşkusuz, Gödel'in sonuçlarının derinliğine ve basit olarak ifade edilebilmelerine bağlıdır. 1931 yılında yayınlanan bu çalışmalar o kadar ünlüdürler ki Gödel'in 1931 yılından sonra yaptığı çalışmalar, 1931'in gölgesinde kalmıştır denebilir. Gödel'in matematik felsefesi ile matematiksel çalışmalarının arasındaki ilişkilerin iyi bilindiğini söylemek zordur. Gödel, 1940'lı yıllarda seçim aksiyomu ve süreklilik hipotezi üzerine çalışmalarını yapar, bir süre fizikle ilgilenir ve zamanla ciddi anlamda felsefeye yönelir. 1944 yılında yayınladığı “Russell'ın matematiksel mantığı”, Gödel'in felsefeye dönüşünü işaretler. Fizik konusunda, Einstein'ın kozmoloji kuramları ve zamanda yolculuk üzerine incelemeler yapar. 1958 yılından sonra, eski çalışmalarını yeniden gözden geçirmekle ve felsefeyle meşgul olur. Gödel, çok eskiden beri sürdürdüğü Kant ve Leibniz incelemelerini sürdürür ve özellikle 1959'dan sonra Husserl'in felsefesine yoğunlaşır.

Bu yazıda, Gödel'in matematiksel mantık çalışmalarından çok, felsefî yönleri ve matematik felsefesi incelemelerine yoğunlaşacağım. Yazının ilk kısmında, Gödel'in hayatına kısaca değineceğim. Daha sonra, Gödel'in eksiklik teoremleri, platonculuk, süreklilik hipotezi ve aksiyomatik sistem hakkındaki felsefî görüşlerine eğileceğim. Son olarak, Gödel'in Husserl ile ilişkisinden ve Wittgenstein'ın Gödel eleştirilerinden bahsederek bitireceğim.

 

Hayatı ve Çalışmaları

Kurt Gödel, 28 Nisan 1906 tarihinde, Avusturya-Macaristan imparatorluğunun Brünn (şimdiki Çek Cumhuriyetinde Brno) şehrinde doğmuştur [1]. Gödel küçük yaşta her şeyi sorguladığı için ailesinde Herr Warum (“Bay Niçin”) olarak isimlendirilmiştir. Gödel, sık sık iddia edilenin aksine, Yahudi kökenli değildir. “Eski” bir Katolik olan babasının değil annesinin inancı izlenerek, Alman Lutheran kilisesinde vaftiz edilmiştir. Gödel'in yaşamı boyunca hiçbir dini cemaatle ilgisi olmamıştır. Buna rağmen, Gödel kendisini inanan biri olarak tanıtır; panteist değil teisttir, kendi ifadesiyle, “Spinoza'yı değil, Leibniz'i izler”.

Gödel 1924 yılında Viyana Üniversitesine geldiği zaman fizik çalışma düşüncesi vardı. Philip Furtwangler'den aldığı matematik dersleri ile H. Gomperz'den aldığı felsefe tarihi derslerinden etkilendi. Felsefi bir düşünce olarak platonculuk ile bu derste tanıştı. 1926 yılında matematik bölümüne geçti. Muhtemelen 1925 yılında, M. Schlick'in matematik felsefesi üzerine seminerine katıldı, bu seminerde Russell'ın Matematiksel Felsefeye Giriş adlı eseri incelenmekteydi. 1926 yılında, hocası Hans Hahn'ın yönlendirmesiyle Viyana Çevresinin toplantılarına katılmaya başladı. Bu çevrenin amacı, bilgiyi mantıksal ve deneysel yollarla incelemek, felsefeyi bilimsel kılmak ve metafiziği reddetmekti. Toplantılarda sessiz bir katılımcı olan Gödel bu çevrenin görüşleriyle hiçbir zaman uyuşmadı ve zamanla o çevreden uzaklaştı. Yine de, o çevrenin ileri gelenlerinden Carnap gibi kişilerle şahsi dostluğunu sürdürdü.

Gödel, 1928 yılından itibaren matematiksel mantık üzerine yoğunlaşmaya başladı. Gödel, Brouwer'ın 1928 yılında Viyana'da yaptığı konuşmaları dinlemiş ve bu konuşmalardan etkilenmiştir. Gödel'in sonraki çalışmalarını etkileyen bir başka husus, Carnap'ın 1928-1929 yıllarında Viyana Üniversitesinde “Aritmetiğin Felsefî Temelleri” adı altında metamantık üzerine verdiği dersler olmuştur. Gödel, Carnap'ın dersinde, Russell ve Hilbert'in çalışmalarını okumuştur. Gödel'e bu dönemde tesir eden bir başka husus, Hilbert'in 1928 yılında Uluslararası Matematikçiler Kongresinde yaptığı ve 1929 yılında basılan konuşmasıdır. Gödel 1929 yılında, Hilbert'in çalışmalarının devamı olarak, eksiksizlik üzerine doktora tezini sunar. Bu tez sayesinde, Viyana Üniversitesi'nde matematik alanında doktorasını 1930 yılında tamamlar. Gödel, Hilbert'in çalışmalarını devam ettirirken, kendisini dünyaca ünlü kılacak beklenmedik bir sonuç keşfeder. Eksiklik teoremi olarak bilinecek bu keşfi 1931 yılında basılır. Gödel'in daha sonra ifade edeceği gibi, bu eksiklik sonucu, aslında Skolem'in 1922 yılında yaptığı çalışmaların “bayağı” bir sonucudur fakat o devrin epistemolojik ve felsefî “önyargıları”, Skolem ve Hilbert ile birlikte diğer matematikçilerin bu sonucu görmesini engellemiştir. Gödel kendi platonculuğu ile eksiklik teoreminin ilişkili olduğunu iddia etmiştir. Gödel eksiklik çalışmasını daha sonra Viyana Üniversitesine sunar ve Privatdozent olarak ders verme hakkı kazanır. 1940'ta Amerika'ya göç edinceye kadar, orada az sayıda olsa da ders verir ve bu süre zarfında üç defa Amerika'ya ziyaretler yapar.

Bu ziyaretlerin ilkinden sonra Avrupa'ya dönünce, sinir krizi geçirir ve sanatoryuma yatırılır. Sağlık sorunlarından dolayı, Princeton'daki Institute of Advanced Studies'in (IAS) davetini ertelemek zorunda kalır. 1935 yılının Ekim ayında IAS'e gider ama bir ay sonra depresyon ve fazla çalışmadan dolayı istifa eder. Sanatoryuma geri döner ve orada bir süre daha geçirir. Viyana'daki derslerine ancak 1937 yılının baharında başlar. 1938 yılında Adele ile evlenir, Kurt Gödel'in ailesinin bu evliliğe Adele'nin daha önce evlenip boşanmış olması ve dansöz olması yüzünden karşı çıkması sebebiyle Kurt ve Adele bu evliliği uzun süre beklemek durumunda kalmışlardır. Gödel, evlendikten kısa bir süre sonra Amerika'ya gittiği için, evliliklerinin ilk yılında eşiyle ayrı yaşar.

Avusturya'nın Nazi Almanya'sına katılması, özellikle Yahudi kökenli olan entelektüellerin Viyana'yı terk etmeleri ile sonuçlandı. Gödel apolitikti ve dünyada olup bitenlerden çok kendi çalışmaları ile ilgileniyordu. Fakat Gödel zayıf bir bedeni olduğunu düşündüğü halde, askere alınmak için uygun bulundu. Ayrıca, üniversitedeki işinin devam etmesi için, yeni Nazi yönetimine başvurması gerekiyordu. Muhtemelen askere çağrılacak olan ve iş durumu belirsizlikler taşıyan Gödel eşiyle birlikte 1940 yılında Amerika'ya göç eder ve hayatı boyunca bir daha Avrupa'ya dönmez.

Gödel, altı veya yedi yaşında iken, ateşli romatizma geçirir; her ne kadar hastalıktan tam olarak kurtulsa da, hastalık sonucu daimi kalp rahatsızlığı olduğuna inanır. Hayatı boyunca sağlık sorunlarıyla boğuşur; doktorlara danışır fakat onların tavsiyelerine güvenmez. 1940'larda ülserden dolayı ameliyat olması gerekir fakat o sürekli geciktirir bunu, sonunda kan nakli yapılarak hayatî tehlikeyi atlatması sağlanır. Hayatının son on yılında, Gödel'in eşi iki defa kalp krizi geçirir ve bakımevine konur. Eşi bakımevine konduktan sonra Gödel'de depresyon ve paranoya belirtileri görülür. Yemeklerine zehir konabileceğini düşündüğü için, kendini açlığa mahkûm eder. Sonunda hastanelik olur ve hastanede kısa bir süre sonra, resmi ölüm belgesindeki kayıtlara göre, “kötü beslenme ve gıdasızlıktan kaynaklanan zayıflık”tan 14 Ocak 1978 tarihinde ölür. Yazının bir sonraki bölümünde Gödel'i dünyaca ünlendiren eksiklik teoremlerine değineceğim.

 

Eksiklik Teoremleri

19. yüzyılın sonunda ve 20. yüzyılın başında, küme kuramında paradoksların ortaya çıkması üzerine, matematikçiler ciddi kaygılar duymaya başlamışlardı. Devrin öncü matematikçisi David Hilbert (2004) paradokslarla karşı karşıya kalmanın getirdiği krizin tahammül edilemez olduğunu düşünüyordu: “Bir düşünün herkesin öğrendiği, öğrettiği, gerçekliğin ve kesinliğin mükemmel örneği olan matematiğin kullandığı tanımlar ve tümdengelim yöntemleri saçmalıklara yol açıyor. Eğer matematiksel düşünce kusurlu ise biz kesinliği ve gerçekliği nerede bulacağız?” (s. 128)

Hilbert, matematikte bilinemeyecek diye bir şey olmadığını göstermek ve matematiği çelişkilerden kurtarmak amacındaydı. Bu amaçla, metamatematik olarak adlandırılan yeni bir alan ortaya attı. Metamatematik, matematiğin yöntemlerini matematiğin kendisine uyguluyordu. Buna göre, matematiğin önermeleri sembollerin toplamı olarak ve çıkarım yöntemleri ise sembolleri maniple etmeye yarayan bir tür mekanik kurallar olarak sunuldu.

Gödel kendi eksiklik teoremlerini Hilbert'in metamatematik tekniklerini kullanarak ortaya koyacaktı. Gödel elde ettiği sonucu, 1930 yılında Könisberg'deki bir konferanstaki konuşmasında ilk defa şöyle duyurmuştur: “Principia mathematica yardımıyla ifade edilebilen öyle matematiksel problemler vardır ki Principia mathematica'daki mantıksal araçlarla çözülemezler. [...] Bu gerçek şöyle de ifade edilebilir: Principia mathematica üstyapı olarak eklenmek üzere Peano aksiyom sistemi, sözdizimsel (syntactically) olarak eksiktir.” (Gödel, 1930: s. 29)

Bu sonucu şöyle de ifade edebiliriz: Belirli bir miktarda aritmetiğin uygulanabildiği herhangi bir tutarlı formel (biçimsel) sistem eksiktir; yani tutarlı bir sistem içerisinde öyle temel bir aritmetiksel önerme ortaya konabilir ki ne bu önerme ne de bu önermenin olumsuzu bu sistem içerisinde ispatlanamaz. Bu sonuçtaki eksiklikten kasıt karar verilemezliktir; tutarlı bir sistemin aksiyomlarıyla bir ifadenin karar verilemez veya çözümsüz olması o sistemi eksik kılar.

Bu sonuçta felsefî açıdan ilginç husus, Gödel'in Hilbert'i izleyerek, doğruluk/hakikat yerine ispat nosyonunu ikame etmesi ve bu ikamenin sınırlılığına işaret etmesidir. Yani, eldeki formel sistem tutarlı olmak üzere, bu sistem içerisinde öyle doğru ifadeler elde ederiz ki bunların ispatı verilemez. İlerde de göreceğimiz üzere, Gödel'i hayatı boyunca felsefî olarak meşgul edecek konulardan biri, matematiksel doğruluk/hakikat ile formel sistemlerdeki ispat arasındaki gerilimdir.

Şimdiye kadar ifade ettiğimiz sonuç birinci eksiklik teoremi olarak bilinir. Gödel'in elde ettiği ikinci eksiklik teoremine göre, Principia mathematica ve Peano aksiyom sistemi ile elde edilen bir sistemin tutarlılık ispatı sistem içerisinde formel olarak verilemez (Gödel, 1931). Burada formellikten kasıt Hilbertçi tarzdır. Aslında ikinci teorem, birinci teoremin bir sonucudur. Şöyle ki: Karar verilemez aritmetiksel önermelerin olduğu eksik bir sistemde, o sistemin tutarlılığına ilişkin bir önerme bahsi geçen karar verilemez önermelerden biridir. Yani eldeki sistemin tutarlılığına ilişkin bir ispat öyle mantıksal çıkarım yollarıyla elde edilebilir ki bu yollar o sistem içerisinde formelleştirilemezler [2]. Gödel, o matematiksel hakikatlerin bizden bağımsız olarak var olduğunu ve kendi eksiklik teoremine de bu düşüncesi yardımıyla vardığını iddia ediyordu. Mevcut formel matematiksel sistemlerimiz eksiktir çünkü matematiksel hakikat bu sistemlerin elde edebildiğinden çok daha geniştir. Şimdi, Gödel'in matematik hakkındaki felsefî görüşlerini ayrıntılı olarak açıklamaya çalışalım.

 

Gödel'in Platonculuğu/Realizmi

Gödel'in ilk geniş felsefî değerlendirmesi olan, 1944 yılında yazdığı “Russell'ın matematiksel mantığı” başlıklı ünlü yazısında, platonculuğu veya realizmi açıkça savunur. Bu görüşe göre, mantık ve matematiğin nesneleri gerçek nesneler gibi “kavranabilirler”, yani bizim “tanımlarımız ve inşalarımızdan bağımsız olarak vardırlar” (Gödel, 1944: s. 128). Gödel'e göre, matematiksel nesnelerin varlığını kabul etme, fiziksel nesnelerin varlığını kabul etme kadar “meşru”dur. Gödel'in platoncu/realist görüşlerini Russell üzerine bir değerlendirme yazısında ifade etmesi, elbette, bir tesadüf değildi. Gödel'e göre, Russell zamanla görüşlerini yumuşatmış olsa da, realist görüşlere sahipti. Gödel yazısında Russell'ın ünlü bir ifadesini alıntılar: “Her ne kadar daha soyut ve genel özelliklerle olsa da mantık, zooloji kadar, gerçek dünya ile ilgilenir” (s. 120). Russell'a göre, fiziğin kanunları ile “duyu algıları” arasındaki ilişki gibi, matematiğin aksiyomları ile mantıksal kanıtlar arasında bir ilişki vardır. Doğa kanunları, bir başlarına besbelli/sarih olmayabilirler fakat duyu algılarının ortaya çıkmasını veya anlaşılmasını sağlarlar. Benzer şekilde, matematiğin aksiyomları bir başlarına besbelli/sarih olmayabilirler fakat sonuçları itibariyle gerekçelendirilebilirler. Gödel, kimi matematiksel problemlerin uzun yıllardır çözülemediği olgusunu aksiyomların yetersizliğine bağlar; yani farklı aksiyomlar bulunursa, bu sorular muhtemelen çözülecektir (s. 121). Gödel, bunu ifade etmekle, matematiğin “mutlak kesinlik” özelliğinin sarsılmış olacağının farkındadır ki zaten bu sarsılmanın, temeller krizi ile bunun büyük ölçüde zaten gerçekleştiğini ifade eder.

Birazdan genişçe ele alacağımız gibi, Gödel, burada Russell üzerinden dolaylı olarak ifade ettiği, özellikle birbiriyle ilgili şu iki görüşünü ilerleyen yıllarda geliştirecektir: 1) Matematiğin gerekçelendirilmesi fiziğin gerekçelendirilmesine benzer. 2) Aksiyomlar bir başlarına besbelli/sarih olmadıkları için, sonuçlarına bakılarak, aksiyomlar hakkında fikir yürütülebilir. Bu görüşlerden birincisini Gödel ile Husserl arasındaki ilişkiyi incelerken ayrıntılı ele alacağım. Gödel, bu görüşlerden ikincisini “Cantor'un Süreklilik Hipotezi Nedir?” başlıklı yazısında genişçe ele alır. Gödel'in küme kuramı ve modern aksiyomatik sistemler üzerine felsefî görüşlerini yayınlandığı muhtemelen en özlü incelemesi olan bu yazıya değinelim.

 

Süreklilik Hipotezi ve Gödel

Hatırlatmak gerekirse Cantor'un ortaya attığı süreklilik hipotezine göre, doğal sayıların kümesinden büyük, reel sayıların kümesinden küçük, arada bir sonsuz küme yoktur [1]. Matematikçileri ortaya atıldığı günden beri uğraştıran bu hipotez, Hilbert'in 1900 yılında Paris'te düzenlenen Uluslararası Matematikçiler Sempozyumu'nda sunduğu meşhur 23 problemden birincisi olarak tarihteki yerini almıştır. Sorunun matematiksel olarak bir türlü çözülememesi, Gödel'in dikkatini küme kuramı ve aksiyomatik yöntem hakkında felsefi bir analize yöneltmiştir. Gödel, 1947 yılında “Cantor'un Süreklilik Hipotezi Nedir?” adlı makalesinde konuyu matematiksel ve felsefî olarak inceler; ayrıca 1963 yılında sözkonusu makaleye önemli bazı eklemeler yapar ve makale 1964 yılında basılır.

Süreklilik hipotezinin matematiksel olarak çürütülemeyeceğinin ispatı daha önce bizzat Gödel tarafından verilmişti. Gödel, makalesinde hipotez için üç ihtimal bulunduğunu belirtir: hipotez, (aksiyomların tutarlı olduğu kabul edilerek) doğrulanabilir, çürütülebilir ya da karar-verilemezdir. Gödel hipotezin matematiksel olarak karar-verilemez olduğunu öngörür. Gödel'in 1963 yılında ifade ettiği bu öngörüsü, makalesinin 1964 yılında yayınlanmasından önce doğrulanmıştır. 1963 yılında Paul Cohen hipotezin kanıtlanamayacağını göstermiştir. Sonuçta, Cantor'un ortaya attığı süreklilik hipotezi, bildiğimiz küme kuramının aksiyomları ile ne yanlışlanabilir ne de doğrulanabilir. Teknik olarak ifade edersek, süreklilik hipotezi, küme kuramının bildik aksiyomlarından bağımsızdır.

Hipotezin karar-verilemez olması “anlamsız” olduğu anlamına mı gelir? Gödel matematiksel ve epistemolojik nedenlerden dolayı, hipotezin anlamını yitirdiği iddialarına karşı çıkar. “Dikkate alınan aksiyomların sistemi hipotetik-tümdengelimsel bir sistem olarak yorumlanırsa [...] karar verilemezliğin bir kanıtıyla sorunun anlamını yitirdiği söylenebilir” der Gödel (2004, s. 235). Dolayısıyla, hipotetik-tümdengelimsel olan aksiyomatik bir sistem içinde bir sorunun karar-verilemez oluşu, o sorunun sadece eldeki aksiyomatik sistemde anlamsız olduğu sonucunu verir denebilir; fakat bu o sorunun mutlak anlamda anlamsız veya karar-verilemez olduğu demek değildir. Bir başka deyişle, burada Gödel, sorunun karar-verilemez oluşunun eldeki sisteme göre değişen bir şey olduğuna dikkat çekerek, platonculuğunu konuşturur ve süreklilik hipotezinin mevcut hipotezlerle karar-verilemez oluşunun sadece eldeki mevcut aksiyomların yetersiz oluşunu gösterdiğini belirtir. Dolayısıyla, yapılması gereken şey, eldeki anlamlı soruyu çözebilecek daha güçlü yeni aksiyom sistemlerini araştırmaktır. Gödel, böyle bir sistem bulunduğunda (süreklilik hipotezinin kabulünün topolojide pek makul olmayan sonuçlar doğurması gibi matematiksel nedenlerden dolayı) süreklilik hipotezinin çürütüleceğine inandığını söyler.

Süreklilik hipotezinin bir “anlamı” olduğunu kabul edelim, yeni aksiyomatik sistemleri nasıl bulacağız ve daha önemlisi bulduğumuz sistemin aradığımız “o” sistem olduğundan nasıl emin olacağız? Gödel (2004) şöyle der: Aksiyomların “doğruluğu hakkında olası bir karar diğer bir yolla elde edilebilir yani tümevarımsal olarak ‘başarı'sı üzerinde çalışarak elde edilebilir. Burada başarı, sonuçlardaki, özellikle de ‘doğrulanabilir' sonuçlardaki verimliliktir” (s. 228). Gödel'in bu iddiasına göre, elde edeceğimiz aksiyom sistemlerinden hangisi en iyi sonuçlar verirse, onu kullanacağız. Gödel bu şekilde kurulan bir teoremin, en azından, iyi-kurulmuş bir fiziksel kuramla aynı anlamı taşıdığına inanır. Gödel, aksiyomların matematik yanında fizikteki yararlılıklarına da bakılabileceğini söyler. Burada ilginç olan şey, Gödel'in önerdiği bu yaklaşımın, deneysel bir ölçütü matematiğin temellerine oturtmasıdır. Gödel gibi bir platoncunun böyle bir deneysel yöntem önermesini nasıl anlamalı? Daha önce değindiğimiz gibi, platoncular, matematiğin fiziksel dünyadan, matematikçiden, zamandan, mekândan bağımsız bir gerçekler dizgesi olduğuna inanırlar. Aynı yazıda, Gödel (2004) platonculuğunu ünlü bir pasajında şöyle ifade eder:

 

Yine de duyu tecrübelerimizden uzaklıklarına rağmen aksiyomların kendilerini bize doğru gibi kabul ettirmeleri olgusunda görüldüğü üzere, küme kuramının nesnelerinin bir algısına benzeyen bir şeye de sahibiz. Bu tür bir algıya yani matematiksel sezgiye duyu algısından daha az güvenmemiz için bir neden göremiyorum. Fiziksel kuramlar oluşturmamızı sağlayan duyu algıları, gelecekteki duyu algılarının bu kuramlarla uyumlu olmasını beklememize neden olur dahası şu an için kararsız olan bir sorunun bir anlamı olduğuna ve gelecekte karar verilebileceğine inanmamızı sağlar. Matematikteki küme-kuramsal paradokslar, fizikteki duyu yanılgılarından daha çok sıkıntılı değildirler. Cantor'un süreklilik hipotezi türü problemlerin bir çözümüne yol açacak, yeni matematiksel sezgilerin tamamen mümkün olduğu daha önce belirtilmiştir. (s. 236)

 

Özetle, Gödel'e göre, aksiyomatik sistem “olası” doğruluk sunar fakat aksiyomların doğruluğu kendisini bize “dayatır”, fizikteki duyu algıları kadar güvenilir olan bu matematiksel sezgiyi inkâr etmemizin sağlam bir dayanağı yoktur. Gödel'in işaretlediği matematiksel ve fiziksel üretkenliklerine göre aksiyomları seçme yöntemi, hiç kuşku yok ki, matematiğin mutlak doğru oluşuna gölge düşüren bir şeydir. Gödel gibi bir platoncunun bunu savunmasını şöyle anlayabiliriz: Gödel'in derdi matematiğin mutlaklığına meydan okumak değildir; fakat matematiğin mutlak olması demek matematikçilerin bu mutlak doğruları elde edebileceği veya hatasız oldukları anlamına gelmez. Gödel, bildiğimiz formel aksiyomatik sistemlerin sınırlarına işaret ederek, bizim dışımızdaki nesnel varlık ve anlamları sezgilerimizle görebileceğimizi ifade ediyordu. Aslında bu felsefî görüşler, Gödel'in eksiklik teoremlerinin bir sonucuydu. Yani, buna göre, formel aksiyomatik sistem matematiksel doğruluğu garantileyen bir yöntemdir fakat, Gödel'in gösterdiği gibi, bu yöntemin bir diyeti vardır. Bu diyet, sezgisel ve informel olarak elde edilebilen kimi matematiksel “hakikatlerin” formelleştirme sonucunda anlamını yitirmesidir.

 

Husserl ve Gödel

Öyle anlaşılıyor ki Gödel kendi görüşleri ile Husserl'in görüşleri arasındaki benzerliği fark ettikten sonra Husserl'in yazdıklarına yoğunlaşmıştır. Gödel, matematiğin nesnelerinin varlığının gerekçelendirilmesi ve realizm ile aksiyomlar hususundaki görüşlerini 1930'lu ve 1940'lı yıllarda olgunlaştırmış; 1959 yılından sonra ise Husserl'in çalışmalarına eğilmiştir. Bilindiği üzere, Husserl matematikçi olarak eğitim almış ve bu alanda doktora yapmıştı. Doktora sonrası, kısa bir süre ünlü matematikçi Weirstrass'ın asistanlığını yapmış, Brentano'nun felsefe derslerine katılmış, daha sonra aritmetik ve mantık felsefesi üzerine araştırmalarını derinleştirmiştir. İlerleyen yıllarda fenomenolojisini geliştirmiştir.

Gödel'in matematik nesnelerinin varlığı ile fiziğin nesnelerinin varlığı arasında yaptığı benzerlik, Husserl'in fenomenolojisi izlenerek de görülebilir. Daha önce değindiğimiz üzere, Gödel, matematiksel nesnelerinin var olduğunu “dayatan” matematiksel sezgiye güvenmemiz gerektiğini doğrudan söylemiyor, matematiksel sezgiye, fiziksel nesnelerin var olduğunu söyleyen duyu algısı kadar güvenmemiz gerektiğini söylüyor. Benzer şekilde, matematiksel nesnelerin özelliklerinin nesnel olduğunu doğrudan söylemiyor, onların fiziksel nesneler kadar nesnel olduğunu söylüyor. Bu, Gödel'i Husserl'e yakınlaştırıyor çünkü Husserl de “idealist” devresinde hem fiziksel nesnelerin hem de matematiksel nesnelerin nesnel olduğunu iddia ediyor (Føllesdal, 1995b). Husserl'e göre, matematiksel nesneleri tecrübe etmek ile fiziksel nesneleri tecrübe etmek arasında ilkesel bir fark yoktur (Føllesdal, 1995a). Dahası, fenomenolojiye göre, biz bir nesneyi bütün olarak algılamayız, onu kısmen algılarız. Örneğin, karşımızda duran bir masanın görmediğimiz bir tarafı vardır. Bundan dolayı, nesne hakkındaki bilgimiz eksiktir ve nesnenin kendisi bizim tecrübemizi aşkındır. Husserl'e göre, hem soyut hem de somut nesneler aşkındır. Matematiksel ve fiziksel nesnelerin varlığına ilişkin bir soruşturmada, her iki durumda da, esas olan şey, nesnelerin varlığı için kanıtlarımız ve teyit prosedürlerimizin olup olmadığıdır (Tieszen, 1992). Sayılar ile kümelerin ve geometrinin nesnelerinin kavramları, fiziğin kavramları gibi zamanla tortulaşmış ve yaşam dünyamıza katılmışlardır.

Gödel'i Husserl'in fenomenolojisine yakınlaştıran şey, belki de, özellikle Kant'tan beri filozofları meşgul eden, realizm ve idealizm arasındaki ilişkidir. Husserl'in algı fenomenolojisi analizlerine göre, algısal nesneleri biz yaratmıyoruz veya inşa etmiyoruz, fakat biz bu nesneler hakkındaki bilgilerimizi inşa ediyoruz (Tieszen, 1992). Gödel de yukarıda değindiğimiz üzere, matematiksel bilginin bizim dışımızda olduğunu düşünüyor fakat aksiyomatik sistem inşa etmekle o bilgileri olası da olsa elde edebileceğimizi söylüyordu. Gödel ile Husserl arasındaki başka bir benzerlik, her ikisinin de kanıtın derece derece olduğunu ve dolayısıyla bizim nesneler hakkındaki tecrübelerimizin yanıltıcı olabileceğini düşünmeleridir (Tieszen, 1992). Buna göre, matematikçinin elde ettiği matematiksel bilgi  pekâlâ yanılabilirdir. Sonsuz kümelerin nesneleri ile aritmetiğin basit nesneleri hakkındaki kanıtlarımız arasında bir derece farkı olabilir.

“Felsefe Işığında Matematiğin Temellerindeki Modern Gelişme” başlıklı yazısında Gödel (*1961/?) [4], Husserl'in adını açıkça anar ve fenomenolojiden övgüyle söz eder. Yazı, felsefî kavramlar aracılığıyla, matematiğin temellerine dair araştırmaları, muhtemel bir Weltanschauungen veya felsefî dünya görüşü içerisine oturtmayı amaçlar. Gödel (*1961/?), dünya görüşlerini metafizikten veya dinden uzaklıklarına göre bir cetvel üzerine yerleştirir. En solda, yani metafizikten en uzakta, şüphecilik, materyalizm ve pozitivizm yer alır; en sağda ise, sipirütüalizm, idealizm ve teoloji yer alır. Materyalizme göre her şey anlamsızdır, ölüm mutlak yok oluştur; teolojiye göre ise her şeyin bir anlamı vardır. Gödel, felsefenin Rönesans'dan beri sağdan sola doğru kaydığını belirtir. Gödel yazısını, matematiğin a priori doğası gereği sağda olması ile felsefede sola doğru gerçekleşen hareketlenme arasında doğan gerilim üzerine odaklar. 

Gödel'e göre, matematik uzun bir süre felsefede gerçekleşen hareketlenmeden etkilenmedi ta ki 20. asrın başında matematikte ortaya çıkan çelişkilere kadar. Gödel'e göre, bu çelişki ve paradokslar şüpheci ve ampirisistler tarafından matematikte sol bir başkaldırı için abartılmıştır. Gödel'e göre, bu paradokslar matematiğin merkezinde değil matematiğin felsefeye doğru kenarlarında ortaya çıkmıştır ve zaten paradokslar daha sonra çözülmüştür. Buna rağmen, matematikçiler bu sol dalgaya kendilerini öyle bir kaptırdılar ki matematiğin, eskiden beri anlaşıldığı gibi, bir doğruluk sistemi olduğunu inkâr ettiler. Bu inkâr, matematiği tecrübî bir bilime dönüştürdü. Buna göre, elde ettiğimiz bir teoremi ispat ettiğimiz halde, teoremi çürüten bir karşı-örnek bulma ihtimalimiz vardı çünkü elimizdeki aksiyomlar tutarsız olabilirdi. Gödel'e göre, “bu nihilist sonuçlara” (s. 379) karşı matematik cephesinden Hilbert'in öncülüğünde bir akım ile, hem zamanın felsefî ruhuna hem de geleneksel matematiğin ruhuna uygun bir arayış başladı. Hilbert, zamanın sol ruhuna uygun olarak, matematiğin hipotetik bir doğruluk değerini kabul etti yani o da sezgi, metafizik ve hakikati inkâr etti. Öte yandan, Hilbert, matematikçilerin geleneksel sağ ruhuna uygun olarak, ispatın tutarlı bir temele dayandırılabileceğini ve her sorunun bir cevabı olduğunu iddia etti. Fakat Gödel'e göre, matematiğin sağa yakın ruhunun sola yakın bir felsefe ile kurtarılamayacağı ortaya çıkmıştır; doğru tutum, hakikatin ortada bir yerde olduğunu veya sağ ile solun bir birleşiminden oluştuğunu kabul etmektir. Hilbert bunu yapmaya çalıştı ama başarısız oldu. Gödel, fenomenolojiyi böyle bir “orta yol” olarak ortaya atar. Gödel'e göre, yapılması gereken şey, matematiksel kavram, nesne ve aksiyomların, tanımlarını vermeksizin, anlamlarını netleştirmektir. Gödel'e göre, fenomenolojiyi kullanarak, matematiksel kavramları kullandığımız zamanlardaki eylemlerimize dikkatimizi çevirerek, bu kavramların anlamlarını netleştirmeliyiz. Fenomenoloji sayesinde şimdiye kadar bizim için meçhul olan temel kavramları kavrayabiliriz.

Gödel, fenomenoloji hakkında görüşlerini yazdıktan sonra, Husserl ile Kant arasındaki ilişkiye değinir. Gödel'e göre, Kant, iki asır boyunca hemen hemen bütün felsefî yaklaşımlar üzerinde etkisini ciddi anlamda hissettirmişti fakat Kant'ın ruhuna en sadık yaklaşım fenomenolojidir. Kant, hem idealizmin metafiziğe dönüşmesine hem de metafiziğin pozitivistçe tamamen inkâr edilmesine mesafeliydi. Gödel yazısını şu ifadelerle bitirir: “Eğer yanlış anlaşılmış bir Kant felsefede (ve dolaylı yoldan bilimde) onca ilginç şeye yol açtıysa, kim bilir doğru anlaşılmış bir Kant'tan [daha] ne kadar çok şey bekleyebiliriz?” (s. 387).

 

Wittgenstein: Gödel'i “es geçen” filozof

Michael Dummett (1959), Wittgenstein'ın elimizdeki notlarında yer alan Gödel hakkındaki yorumları için “düşük kaliteli” ve “kesin yanlışlar içermektedir” (s. 491) demektedir. Georg Kreisel ise, Wittgenstein'ın Gödel hakkındaki yorumları için “parlak bir zekânın şaşırtıcı derecede önemsiz bir ürünü” der (aktaran Wrigley, 1977, s. 50). Her ne kadar Wittgenstein'ın Gödel'i yanlış anladığı iddia edilse de, Shanker'e (1988) göre, Wittgenstein'ın yorumları yanlış anlamadan veya bilmeden kaynaklanmamaktadır. Wittgenstein'ın Gödel'in sonuçlarını inkârını anlamak için, onun felsefe ve matematik hakkındaki görüşlerine bakmamız gerekiyor. Wittgenstein için, felsefe ve matematiğin birbirine sunacağı hiçbir şey yoktur; hiçbir matematiksel sonuç, felsefî bir şey sunmaz (Dummett, 1959). Wittgenstein'a göre, felsefî bir problem felsefi yollarla çözülebilir (Shanker, 1988). Böylece, Wittgenstein için, Gödel'in teoremi matematik olduğu için matematiğin temellerine dair bir şey sunamaz. Wittgenstein için, Gödel'in sonucunun hiçbir epistemolojik değeri yoktur ve platoncu yorumlarının hiçbir anlamı yoktur. Zaten, Wittgenstein için, matematikte anlam diye bir şey yoktur, her şey bir algoritmadır (Wrigley, 1977). Matematik bir calculus'tur yani hesaptır. Kimi kuralların birleşiminden ibaret olduğu için matematik içinde epistemolojik veya ontolojik sorunlar olamaz. Matematik aslında hiçbir şey hakkında değildir. Matematik tamamen hesap olduğu için metamatematik diye bir şey olamaz. Metamatematik denen şey başka bir çeşit matematiktir ve bundan dolayı da metamatematik matematiğin temelleri hakkında hiçbir şey sunmaz (Shanker, 1988). Böylece, Wittgenstein, hem Hilbert hem de Gödel'in iddialarını reddetmiştir.

Gödel öğrenci iken toplantılarına katıldığı Viyana Çevresinden Wittgenstein'ı sık sık duymaktaydı. Gödel hem Viyana Çevresinin metafiziği dışlamasına hem de, benzer şekilde, Wittgenstein'ın matematikten anlam ve hakikati dışlamasına sıcak bakmıyordu. Öte yandan, her ne kadar Gödel'in sonuçlarına tekrar tekrar dönse de Wittgenstein, “amacım Gödel'in ispatı hakkında konuşmak değil, onu atlamaktır [es geçmektir]” demiştir (aktaran Shanker, 1988, s. 155). Yine de, Shanker'in dediği gibi, Wittgenstein ile Gödel arasında bir dostluk beklenirdi nihayetinde ikisi de esoterik sonuçlar ortaya çıkarmıştır; Wittgenstein'ın kendisine “potansiyel bir müttefiği” niçin “harcadığı” belirsizdir.

Wittgenstein, Hilbert'i eleştirse de, aslında Hilbert'in muazzam programının ancak bir karikatürü olan “oyun formalisti” gibi davranmıştır; Wittgenstein için de matematik kâğıt üzerinde anlamsız sembollerle oynanan bir oyundan başka bir şey değildir. Bundan dolayı, matematikteki ontolojik ve epistemolojik sorunları inkâr ederek Gödel'i ıskalayan Wittgenstein'ın matematik felsefesi karşısındaki tutumunun, bir pozitivistin metafizik karşısındaki tutumuyla aynı olmasına şaşmamalı.

 

Dipnotlar:

1- Gödel'in hayatı hakkındaki bilgileri hazırlarken esas olarak faydalandığım kaynaklar, John W. Dawson'ın (1988) hazırladığı titiz biyografi ile Solomon Feferman'ın (1986) Gödel ve çalışmalarını tanıtan yazısıdır.

2- Bilindiği üzere, Gödel, iletişim yeteneğimize güvensizlik duyuyordu. Gödel'e göre, doğal dil bulanıktı ve aslında birbirimizi genelde anlamıyorduk. Gödel, matematiğin netliğini ve titizliğini kullanarak, kendi eksiklik teoremiyle felsefî bir şeyler söylemişti. Gödel, “nesnel bir ispat veya matematiksel ispat diye bir şey yoktur” türünden bir yargı ifade etmek istemiyordu. Fakat, Gödel'in teoremi kimi entelektüel çevreler tarafından söylemeye çalıştığı şeyin dışındaki birtakım şekillerde yorumlandı; Goldstein'ın (2005) —muhtemelen kimi postmodernistleri düşünerek biraz da anakronik olarak— söylediği gibi, böyle bir durumda, “Gödel iletişime güvensizlik duymayıp da ne yapsın?”

3- İbranice'deki “alef” harfi kullanılarak yazılan süreklilik hipotezinin denklemi şöyledir:

 

Doğal sayıların kümesinin eleman sayısı (kardinalite), א0 ile gösterilir. Benzer şekilde, reel sayıların eleman sayısı, א1 olarak gösterilir ve transfinit olarak adlandırılır. Matematiksel bir kavram olan transfinit, Cantor'un sonsuzluk incelemelerinden doğan bir kavramdır. Transfinit, bilinen sonsuz doğal sayıların eleman sayısından büyüktür. Bu iki küme arasında başka bir kardinaliteye sahip sonsuz bir kümenin olup olmadığı süreklilik sorusunun özünü oluşturur.

4- Söz konusu yazı, verilmemiş bir konuşma için 1961 veya daha sonraki bir yılda stenografi (kısaltılmış el yazısı) ile yazılmıştır; onun için yazının kaynağı Gödel'in toplu yazılarında “*1961/?” şeklinde verilmiştir, “*” işareti yayınlanmadığını, soru işareti ise tam tarihinin bilinmediğini ifade etmektedir.

 

Kaynakça

Dawson, J. W. (1988) Kurt Gödel in sharper focus. S. G. Shanker (Ed.) Gödel's theorem in focus. Croom Helm. 1-16.

Dummett, M. (1959) Wittgenstein's philosophy of mathematics. The Philosophical Review, Vol. 68, No. 3. (Jul.), 324-348.

Føllesdal, D. (1995a) Gödel and Husserl. J. Hintikka (Ed.), From Dedekind to Gödel: Essays on the development of the foundations of mathematics, 1995, 427-446.

Føllesdal, D. (1995b) Introductory note to *1961/?. S. Feferman v.d. (Ed.), Kurt Gödel: Collected works, Volume III, 1995, 364-373.

Goldstein, R. (2005) Gödel and the nature of mathematical truth: A talk with Rebecca Goldstein. (Erişim: 10 Mart 2006) http://www.edge.org/3rd_culture/goldstein05/goldstein05_index.html

Gödel, K. (*1961/?) The modern development of the foundations of mathematics in the light of mathematics. S. Feferman v.d. (Ed.), Kurt Gödel: Collected works, Volume III, 1995, 375-387.

Gödel, K. (1930) Lecture on completeness of functional calculus. S. Feferman v.d. (Ed.), Kurt Gödel: Collected works, Volume III, 1995, 17-29.

Gödel, K. (1931) Discussion on providing a foundation for mathematics. S. Feferman v.d. (Ed.), Kurt Gödel: Collected works, Volume I, 1986, s. 201-203.

Gödel, K. (1944) Russell's mathematical logic. S. Feferman v.d. (Ed.), Kurt Gödel: Collected works, Volume II, 1990, 119-141.

Gödel, K. (2004) Cantor'un süreklilik problemi nedir? [1964]. Bekir S. Gür (Ed.), Matematik felsefesi, Kadim yayınları, 2. baskı, 217-238.

Hilbert, D. (2004) Sonsuz üzerine [1925]. Bekir S. Gür (Ed.), Matematik felsefesi, Kadim yayınları, 2. baskı, 117-142.

Shanker, S. G. (1988) Wittgenstein's remarks on the significance of Gödel's theorem. S. G. Shanker (Ed.) Gödel's theorem in focus. Croom Helm. 155-256.

Tieszen, R. (1992) Kurt Gödel and phenomenology, Philosophy of Science, 59, 2, 176-194.

Wrigley, M. (1977) Wittgenstein's philosophy of mathematics. The Philosophical Quarterly, Vol. 27, No. 106. (Jan.), 50-59.

 

 

Kaynak: Bekir S. Gür, Bir matematik filozofu olarak Kurt Gödel, Bilim ve Gelecek (Nisan, 2006), sayı: 26, s. 48-54.






Bu sayfa hakkında yorum ekle:
İsminiz:
E-mail adresiniz:
Siteniz:
Mesajın:


Bugün 10 ziyaretçi (27 klik) kişi burdaydı!
=> Sen de ücretsiz bir internet sitesi kurmak ister misin? O zaman burayı tıkla! <=