Ana Sayfa
Matematikçiler
Makaleler
=> Cahit Arf ile Röportaj
=> Türkçe'nin Matematiği
=> Güç ve Sıfır
=> Matematiği Hatırlamak ve Uygulamak
=> Matematiğin Dili
=> İrrasyonel Sayılar
=> Tümdengelim-Tümevarım
=> Atatürk'ün Matematiğe Katkıları
=> Türk-İslam Dünyasında Geometrinin Yeri
=> Bir Matematik Filozofu Olarak Kurt Gödel
=> Türk Matematikçiler
=> İlk Kadın Matematikçi Hypatia
=> Bernoulli Ailesi
=> Dört Renk Teoremi
=> Riemann Hipotezi
=> İkiz Asallar Sanısı
=> Matematiğin Kaynağı Doğadır
=> Matematiğin Temelleri Üzerine Uyuşmazlık Yüzyılı
=> matematik ve Diğer Canlılar
=> Numbers of Zeros
=> The Distributive Property
=> Hundreds Chart
=> What is Algebra? Why Take Algebra?
=> What is Geometry?
=> Matematik ve Müzik
Matematik Seçkileri
Fraktallar
Paradokslar
Sayılar Teorisi
İletişim
Ziyaretçi defteri
 

Matematiğin Temelleri Üzerine Uyuşmazlık Yüzyılı

Gregory J. Chaitin

Çev. Bekir S. Gür

 

Evet, bazı çılgınca şeylerden bahsedeceğim. Genel kanı fikirlerin bazen çok güçlü olduğudur. Bir kavram, felsefî bir kavram olarak bilgisayar hakkında bir kuramdan bahsedeceğim.

Hepimiz biliyoruz ki bilgisayar gerçek dünyada çok kullanışlı bir nesnedir! Maaşlarımızı öder, öyle değil mi? Fakat insanların çoğu zaman hatırlamadığı şey, —abartmış olacağım, lakin söyleyeceğim— bilgisayarın gerçekte matematiğin temelleri ile ilgili felsefî bir sorunu aydınlatmak için icat edilmiş olduğudur.

Şimdi, bu fikir saçma gibi görünüyor, ancak bunun doğru tarafları var. Aslında, bilgisayara, bilgisayar teknolojisine yol açan bir çok fikir silsilesi vardır. Bu fikirler, matematiksel mantık ile matematiğin sınırları ve gücü hakkındaki felsefi sorunlardan türemiştir.

Bu tür sorunlardan ilham alan, oyuncak bir bilgisayarın matematiksel bir modeli olan Turing makinesini icad etmiş olan bilgisayar öncüsü Turing’dir. Turing bu makineyi Hilbert’in matematik felsefesi ile ilgili bir sorusunu çözmeye çalışırken icat etmiştir. Turing, bunu herhangi gerçek bir bilgisayar henüz icat edilmeden önce yaptı ve sonra da sahiden bilgisayar yapmaya koyuldu. İngiltere’deki ilk bilgisayarlar Turing tarafından yapıldı.

Buna ilaveten, Birleşik Devletlerde bir teknoloji olarak bilgisayarların icadını, (maalesef savaş çalışmalarının ve atom bombası inşa etme çalışmalarının bir parçası olarak) üretilmesini teşvik etmede faydalı olan von Neumann, Turing’in çalışmalarını çok iyi biliyordu. Ben Turing’i, Turing’in çalışmalarının öneminden bahseden von Neumann’ı okuyarak öğrendim.

Demek ki benim bilgisayarların kökeni hakkında söylediklerim tümüyle bir uydurma değildir. Lâkin bu mevzu entelektüel tarihin unutulmuş bir parçasıdır. Bu konuşmanın bitiş yargısı ile başlayayım: Bunların çoğu bir bakıma Hilbert’in çalışmalarından türemiştir. Bu yüzyılın başlarında çok iyi bilinen bir Alman matematikçi olan Hilbert, matematiğin tümünü, bütün matematiksel akıl yürütmeleri—sonuç çıkarmaları— biçimselleştirmeyi önerdi. Ve Hilbert’in bu önerisi çok büyük, görkemli bir fiyaskodur!

Bir bakıma, bu büyük bir başarısızlıktır. Çünkü, matematiksel akıl yürütmenin biçimselleştirilemeyeceği açığa çıkmıştır. Bu, benim bugün üzerinde konuşacağım, 1931’de Gödel tarafından yapılan çalışmanın meşhur bir sonucudur.

Fakat bir başka yönden, Hilbert gerçekten haklıydı, çünkü biçimcilik (formalizm) bu yüzyılın en büyük başarısı olmuştur. Akıl yürütme veya mantıksal çıkarım için değil de, programlama ve hesaplamada biçimcilik son derece başarılı olmuştur. Eğer bu yüzyılın başındaki mantıkçıların çalışmalarına bakarsanız, onlar akıl yürütme, mantıksal çıkarım ile matematik yapma ve sembolik mantık için biçimsel diller üzerine konuşuyorlardı, bununla beraber onlar aynı zamanda programlama dillerinin ilk versiyonlarından bazılarını da icat etmişlerdi. Dahası bu programa dilleri, bizim her zaman birlikte yaşadığımız ve beraber çalıştığımız biçimciliklerdir! Bunlar çok önemli teknolojilerdir.

Böylece, akıl yürütmek için biçimcilik işlemedi. Matematikçiler biçimsel diller içinde akıl yürütmezler. Fakat hesaplama, programlama dilleri için biçimcilik, kökü bu yüzyılın başında Hilbert’e dayanan, matematik ile ilgili epistemolojik, felsefi soruları açıklamaya çalışan biçimci görüş içinde bir bakıma doğrudur.

Şimdi size şaşırtıcı bir sonucu olan bu öyküyü anlatıp, entelektüel tarihin bu şaşırtıcı parçasından bahsedeceğim.

Küme Kuramında Kriz

Müsaadenizle yaklaşık bir yüzyıl öncesine gidip, Cantor ile başlayalım...

Georg Cantor

Mesele şudur: normalde matematiğin statik, değişmeyen, mükemmel, mutlak doğru, mutlak gerçek vs. olduğunu düşünürsünüz, değil mi? Fizik değişken olabilir, fakat matematikte nesneler kesindir! Halbuki durumun tam olarak böyle olmadığı açığa çıktı.

Geçen yüzyılda matematiğin temelleri, matematiğin nasıl yapılması gerektiği, neyin doğru olup olmadığı, matematikte geçerli bir ispatın ne olduğu gibi konular üzerine bir çok uyuşmazlık yaşandı. Bunun üzerine neredeyse kan akıtılıyordu... İnsanların korkunç kavgaları oldu ve bu öykü akıl hastanesinde son buldu. Bu, oldukça önemli bir uyuşmazlıktı. Bu uyuşmazlık çok iyi bilinmiyor, ama bunun entelektüel tarihimizin ilginç bir parçası olduğunu düşünüyorum.

Bir çok insan görelilik kuramı hakkındaki uyuşmazlıktan haberdardır. Einstein başta çok tartışıldı. Ve sonra kuantum mekaniği üzerine olan uyuşmazlık... Bunlar, yüzyıl fiziğinin iki önemli devrimidir. Fakat daha az bilinen şey, pür (katıksız) matematikte de müthiş devrimlerin ve uyuşmazlıkların olduğudur. Bu, gerçekte Cantor ile başladı.

Cantor’un yaptığı şey bir sonsuz kümeler kuramı icat etmekti.

Sonsuz Kümeler

Cantor bunu yaklaşık yüzyıl önce icat etti; hatta, yüzyıldan biraz daha uzun bir süre öncedir. Bu kuram çok büyük bir devrim niteliğinde olup, aşırı derecede maceralı bir iştir. Niçin böyle olduğunu açıklayayım.

Cantor şöyle dedi; 1, 2, 3 ...’u ele alalım.

1, 2, 3, ...

Hepimiz bu sayıları görmüşüzdür, değil mi? Cantor, bu dizinin ardına sonsuz bir sayı eklemeyi teklif etti.

1, 2, 3, ... omega

Cantor, bu sayıyı da Yunan alfabesindeki küçük omega(w) ile gösterdi. Sonra da, niye burada duralım, yolumuza devam edip sayı serisini genişletelim önerisinde bulundu.

1, 2, 3, ... omega, omega+1, omega+2, ...

Omega artı bir, omega artı iki, sonra sonsuz miktarda bir zaman bu işleme devam edin. Bundan sonra ne ekleyeceksiniz? Peki, iki omega ? (Aslında, teknik nedenlerden ötürü omega çarpı ikidir.)

1, 2, 3, ... omega ... 2omega

Sonra iki omega artı bir, iki omega artı iki, iki omega artı üç, iki omega artı dört...

1, 2, 3, ... 2omega, 2omega+1, 2omega+2, 2omega+3, 2omega+4, ...

Sonra, ne gelir? Üç omega, dört omega, beş omega, altı omega, …

1, 2, 3, ... 3omega ... 4omega ... 5omega ... 6omega ...

Peki, bütün bunlardan sonra ne gelecek? Omega’nın karesi! Ve böylece devam edin, Omega kare artı bir, omega kare artı altı omega artı sekiz... Pekala, uzun bir süre bu şekilde devam edin ve omega kareden sonra gelen ilginç şey? Omega’nın küpü! Ve sonra siz omega’nın dördüncü kuvvetini sonra beşinci kuvvetini elde edersiniz ve çok sonra?

1, 2, 3, ... omega ... omega2 ... omega3 ... omega4 ... omega5

Omega üzeri omega!

1, 2, 3, ... omega ... omega2 ... omegaomega

Ve çok sonra, omega üzeri omega üzeri omega sonsuz kere!

1, 2, 3, ... omega ... omega2 ... omegaomega ...

Buna genellikle epsilon-sıfır denildiğini zannediyorum.

epsilon0 =

İnsanı hayrete düşürecek hoş bir sayı! Bu noktadan sonra işler biraz zorlaşıyor...

Bu, Cantor’un asıl hüneri olan sonsuz kümelerin boyutunu ölçmek için yaptığı ısınma turu niteliğinde harikulade hayali ve üretici bir şeydi dahası bu, çok aşırı tepkiler aldı. Cantor’un yaptığı şeyi bazıları sevdi, bazıları ise onun bir akıl hastanesine konulması gerektiğini düşündü! Gerçekten de bu eleştirilerden sonra Cantor’da sinir bozukluğu (nevrasteni) başladı. Cantor’un çalışmaları, çok etkili olup nokta-küme topolojisi ve yirminci yüzyıl matematiğinin diğer soyut alanlarına zemin açtı. Fakat çalışmaları, aynı zamanda tartışmalıydı. Bazıları, bunun, gerçek değil hayali bir dünya olduğunu, ciddi matematikle bir alakası olmayıp teoloji olduğunu söylediler! Dahası, Cantor asla iyi bir mevki elde edemedi ve hayatının geri kalanını da ikinci sınıf bir enstitüde harcadı.

Bertrand Russell’ın Mantıksal Paradoksları

Sonra işler, çocukluk kahramanlarımdan olan Bertrand Russell’dan dolayı daha da kötüleşti.

Bertrand Russell

İngiliz bir filozof olan Bertrand Russell, güzel ve kendine has denemeler yazmış ve zannediyorum ki bu harika denemelerden dolayı Nobel edebiyat ödülünü almıştır. Matematikçi olarak başlayan Bertrand Russell, yozlaşarak önce filozof sonra hümanist olmuş ve hızlıca baş aşağı gitmiştir![Gülüşmeler] Neyse, Bertrand Russell, önce Cantor kuramında, sonra mantığın kendisinde rahatsız edici bir paradoks demeti keşfetmiştir. Bunlar öyle durumlardır ki, orada akıl yürütmeler doğru gözükürken aynı zamanda çelişki doğurmuşlardır.

Ve öyle zannediyorum ki Bertrand Russell, bunun ciddi bir kriz olduğu ve bu çelişkilerin bir şekilde çözülmesi gerektiği düşüncesinin yayılmasında çok etkili olmuştur. Russell’ın keşfettiği paradokslar çok dikkat çekti, asıl garip olan ise, onlardan sadece bir tanesinin Russell adıyla son bulmasıdır! Bu paradokslardan bir tanesi de Burali-Forti paradoksu diye adlandırılır. Çünkü Russell bu paradoksu yayınladığında bir dipnotta, Burali-Forti’nin makalesinden fikir aldığını belirtmişti. Halbuki, Burali-Forti’nin makalesine bakarsanız öyle bir paradoks göremezsiniz!

Fakat öyle zannediyorum ki, bazı şeylerin ciddi şekilde yanlış olduğu Danimarka’da bazı şeylerin çürümüş olduğu[1], muhakemelerin iflas ettiği ve bu hususta derhal bir şeyler yapılması gerektiğinin fark edilmesi temelde Russell’a dayanır. Meksikalı bir matematik tarihçisi olan Alejandro Garciadiego, Bertrand Russell’ın matematikte bilinenden çok daha büyük bir rol oynadığını dile getiren bir kitap yazdı: Russell, sadece kendi adını taşıyan Russell paradoksunu değil, aynı zamanda adını taşımayan Burali-Forti ve Berry paradokslarını formüle etmede kilit bir rol oynamıştır. Russell, herkese bu paradoksların önemli olduğunu ve bunların çocukça kelime-oyunları olmadığını anlatmıştır.

Herneyse, bu paradokslardan en çok bilineni bugünlerde Russell paradoksu olarak anılanıdır. Kendi kendisinin elemanı olmayan bütün kümelerin kümesini düşünün. Ve sonra şunu sorun, “Bu küme, kendisinin bir elemanı mıdır yoksa değil midir?”. Eğer kendisinin bir elemanı ise, o halde kendisinin elemanı olmamalıdır, ve tersi! Bu paradoks, küçük ve uzak bir kasabada kendisini tıraş etmeyen adamları tıraş eden bir berberin durumuna benzer. Paradoks,  “Berber kendi kendini tıraş eder mi?” sorusunu sorana kadar çok mantıklı görünüyor. Berber, kendi kendini tıraş eder ancak ve ancak kendi kendini tıraş etmez. Böylece berber, bu kuralı kendine uygulayamaz!

            Şöyle diyebilirsiniz, “Bu berberden kime ne!”. Bu, her halükarda aptalca bir kuraldır ve her kuralın istisnası vardır! Fakat bir küme ile, matematiksel bir kavram ile ilgileniyorsanız bu sorunu halletmek o kadar da kolay değildir. O halde, doğru görünen akıl yürütmeler sizi zora sokuyorsa öyle kolay omuz silkemezsiniz!

            Sırası gelmişken, Russell paradoksu, aslında antik Yunanlılarca bilinen ve bazı filozoflar tarafından Epimenides paradoksu olarak anılan bir paradoksun küme-kuramcı yansımasıdır. Bu,  yalancı paradoksudur: “Bu cümle yanlıştır!” “Şimdi söylediğim şey bir yanlış, bir yalandır.” Pekala, bu cümlenin kendisi yanlış mı? Eğer yanlış ise, eğer bir şey yanlış ise, o şeyin doğrulukla bir alakası yoktur. Öyleyse eğer ben bu cümlenin yanlış olduğunu söylüyorsam bu onun yanlış olmadığı manasına gelir—bu da onun doğru olduğu manasına gelir. Fakat eğer bu doğru ise ve ben onun yanlış olduğunu söylüyorsam, o halde onun yanlış olması gerekir! Gördüğünüz gibi, her halükarda başınız belada!

            Sonuçta tam bir mantıksal doğruluk değeri elde edemezsiniz, her şey takla atar. O ne doğrudur ne de yanlıştır. Ve siz bunları dikkate almayıp bunların sadece anlamsız kelime oyunları olduklarını, ciddiyetten yoksun olduklarını söyleyerek bunları defedebilirsiniz. Oysa Kurt Gödel daha sonra çalışmalarını bu paradokslara dayayarak çok farklı bir görüş ileri sürdü.

Kurt Gödel

            Gödel, Bertrand Russell’ın hayret verici bir keşif yaptığını söyler; bizim mantıksal sezgilerimiz veya matematiksel sezgilerimiz kendi kendileriyle çelişir, birbiriyle uyuşturulamaz! Gödel, Russell’ın söylediklerinin büyük bir şaka olduğunu düşünmek yerine Russell’ı çok ciddiye aldı.

            Şimdi David Hilbert’e geçip onun, Cantor’un küme kuramı ve Russell’ın paradokslarının neden olduğu krizin üstesinden gelecek kurtarma planından bahsedeceğim.

David Hilbert Biçimsel Aksiyomatik Kuramlarla [Matematiği] Kurtarma Yolunda

Cantor’un sonsuz kümeler kuramının ateşlendirdiği krize tepkilerden biri biçimciliğe sığınmak olmuştur. Eğer kusursuz görünen akıl yürütmeler sonucunda sıkıntıya düşüyorsak, o halde çözüm, sembolik mantığı kullanmaktır. Yapay bir dil oluşturarak o dilin içinde çok dikkatli olup, oyunun kuralları neyse onu söyleyerek çelişkilere düşmediğimizden emin olabiliriz. Çünkü, burada kusursuz görünen bir parça akıl yürütme var ki bu çelişkilere yol açmaktadır. İşte biz bu sorunun üstesinden gelmek istiyoruz. Fakat, doğal dil muğlaktır—bir zamirin kime işaret ettiğini asla bilemezsiniz. Bundan dolayı, gelin bir yapay dil oluşturalım ve her şeyi çok net kılalım ve bütün çelişkilerinden kurtulduğumuza emin olalım! Bu biçimcilik düşüncesiydi. 

Biçimcilik

Şimdi ben, Hilbert’in matematikçilerin böyle mükemmel bir yapay dil içinde çalışmak zorunda olduklarını kastettiğini zannetmiyorum. Bu yapay dil daha çok bir programlama diline benzeyecektir fakat amaç hesap yapmak değil; akıl yürütmek, matematik yapmak ve çıkarım yapmaktır. Bu Hilbert’in düşüncesidir. Fakat Hilbet, düşüncesini hiçbir zaman bu şekilde ifade etmedi. Çünkü, o zaman programlama dilleri yoktu.

Peki, buradaki düşünceler nelerdir? Her şeyden önce, Hilbert aksiyomatik yöntemin  önemini vurguladı.

Aksiyomatik Yöntem

Bu şekilde matematik yapma fikri, antik Yunanlılara kadar ve özellikle güzel ve açık bir matematiksel sistem olan Öklit geometrisine kadar dayanır. Lâkin, bu yeterli değildir; Hilbert aynı zamanda sembolik mantığı kullanmamız gerektiğini söylüyordu.

Sembolik Mantık

Sembolik mantığın da uzun bir geçmişi vardır: Leibniz, Boole, Frege, Peano... Bu matematikçiler akıl yürütmeyi cebire benzetmek istediler. İşte Leibniz: Kimin haklı olduğunu tartışma yerine hesaplama ile münakaşadan kaçınmayı önerdi—ve münakaşadan kastı muhtemelen siyasi ve dini münakaşalardı-! Kavga yerine masaya oturabilmeli ve “Beyler, buyurun hesaplayalım..” demelisiniz diyordu. Ne güzel bir düş!...

Dolayısıyla fikir şudur: matematiksel mantık aritmetik gibi belirsizlik ve yorum soruları olmaksızın, sonuç içinden çıkarılabilir olmalıdır. Sembolik bir dil ile yapay bir matematik dili kullanarak kusursuz rigor [titiz, kesin, kati, katı, sert Ç.N.] bir sonuca ulaşabilmelisiniz. Matematikte ‘rigor’ kelimesinin “rigor mortis”[2] şeklinde kullanıldığını duydunuz mu? [Gülüşmeler] Buradaki katılık, o katılık değildir. Fakat fikir şudur; bir önerme ya tamamıyla doğrudur ya da tamamıyla saçmadır, ikisinin arasında bir şey yoktur. Biçimsel aksiyomatik sistem içerisinde formüle edilen bir ispat mutlak olarak açık ve tamamıyla pürüzsüz olmalıdır!

Başka bir deyişle Hilbert, oyunun kuralları, tanımlar, temel kavramlar, gramer ve dil—oyunun bütün kuralları—konusunda tamamıyla net olmalıyız ki matematiğin nasıl yapılacağı üzerinde uzlaşabilelim diyordu. Pratikte, bu tür bir biçimsel aksiyomatik sistemi kullanmak çok zahmetli bir iş olacaktır, fakat bu sistem felsefi olarak önemlidir. Çünkü böylece matematiksel akıl yürütmenin herhangi bir parçasının bütün sorularının doğruluğu bir defada çözülecektir.

Tamam mı? Öyleyse Hilbert’in fikri oldukça açıktır. Hilbert sadece matematikteki aksiyomatik ve biçimci geleneği takip ediyordu. Biçimcilik içindeki, formül kullanmadaki, hesaplamadaki haliyle biçim! O yolun tamamını gitmek ve matematiğin tümünü biçimselleştirmek istiyordu; bu yeterince makul bir plana benziyordu. Hilbert devrimci değil, muhafazakar biriydi... İşin ilginç tarafı, daha önce belirttiğim gibi; Hilbert’in kurtarma planının işleyemeyeceği ve başarılamayacağı dahası bu planı işler kılmanın imkansız olduğu açığa çıktı!

Hilbert, sadece bütün matematik geleneğini şu noktaya kadar takip ediyordu: Aksiyomatik metot, sembolik mantık, biçimcilik... Hilbert, tamamen net olma ile bütünüyle biçimsel bir aksiyomatik sistem oluşturmayı, yapay bir dil üreterek de paradokslardan kaçınmayı hedefledi. Bunlar paradoksları imkansız kılacak, paradoksları yasaklayacaktı! Buna ek olarak, çoğu matematikçi muhtemelen Hilbert’in haklı olduğunu, bunun elbette yapılabileceğini düşündü—bu ise matematikteki şeylerin mutlak net olduğu, siyah veya beyaz olduğu, doğru veya yanlış olduğu düşüncesidir.

Öyleyse Hilbert’in düşüncesi, matematiğin bütünüyle neyle alakalı olduğuna ilişkin mutedil düşüncenin uç ve abartılmış bir versiyonudur: Oyunun kurallarının tümünü bir kez ve tamamıyla belirleyip üzerinde anlaşabiliriz. Bunun yapılamayacağının açığa çıkması büyük bir sürprizdir. Hilbert’in yanıldığı açığa çıkmıştır, ama o çok verimli bir yolda yanılmıştır. Çünkü Hilbert çok güzel bir soru sormuştu. Aslında, bu soruyu sormakla gerçekten de metamatematik denilen, matematiğin tümüyle yeni bir alanını kurmuş oluyordu.

Matematiğin kendi içine döndüğü, kendi kendini araştırdığı bir alan olan metamatematikte, matematiğin neyi başarabileceğini veya neyi başaramayacağını araştırırsınız.

Metamatematik nedir?

Bu benim alanım—metamatematik! Metamatematikte, matematiğe yukarıdan bakarsınız ve matematiksel akıl yürütmeyi, matematiksel akıl yürütmenin neyi başarıp başaramayacağını tartışmak için kullanırsınız. Temel düşünce: à la Hilbert (Hilbert tarzı) matematiği bir kez yapay bir dil içine gömüp, tümüyle biçimsel bir aksiyomatik sistem kurarak matematiğin herhangi bir manası olduğunu unutabilirsiniz. O zaman matematiğe, sadece kağıt üzerine işaretler koyarak oynadığınız aksiyomlardan teorem çıkarmanıza yarayan bir oyun gözüyle bakabilirsiniz!

Bu matematiksel akıl yürütme oyununun manasını unutabilirsiniz. O sadece sembollerle birleştirme oyunudur! Belli kurallar vardır ve siz bu kuralları çalışıp bu kuralların herhangi bir manası olduğunu unutabilirsiniz!

Biçimsel bir aksiyomatik sistemi inceleyip yukarıdan, dışarıdan baktığınızda neyi araştırırsınız? Ne tür sorular sorarsınız?

Pekala sorabileceğiniz bir soru şudur: “0 eşittir 1”i ispatlayabilir misiniz?

0=1 ?

Neyse ki yapamazsınız, fakat bundan nasıl emin olacaksınız? Emin olmak zordur!

Ve herhangi bir A sorusu için, A’nın doğrulanması için, durumun doğru olup olmadığını, A’yı veya A’nın karşıtını (A’nın değilini) ispatlamanın mümkün olup olmadığını sorabilirsiniz.

A ?       ¬A?

Buna bütünlük denir.

Bütünlük

Herhangi bir A sorusunu, ya onun doğruluğunu (A)  ispatlayaraktan  ya da onun yanlışını (¬A) ispatlayaraktan çözebiliyorsanız, böyle bir biçimsel aksiyomatik sisteme bütün denir. Güzel bir şey olmalı! Başka ilginç bir soru da şudur: bir önermeyi (A) ispatlayabiliyorsanız ve bunun tersini (¬A) de ispatlayabiliyorsanız, buna tutarsızlık denir dahası eğer bu gerçekleşirse, durum çok fena! Tutarlılık, tutarsızlıktan çok iyidir!

Tutarlılık

Öyleyse Hilbert’in düşüncesi, matematik içinde konusu matematiğin kendisi olan, yeni bir alan oluşturmaktı. Fakat bunu, tamamıyla biçimsel bir aksiyomatik sistem olmadan yapamazsınız. Çünkü  herhangi bir “anlam” matematiksel bir akıl yürütmeye içkin olduğu müddetçe bu matematiksel akıl yürütme tümüyle öznel olacaktır. Matematik yapmamızın nedeni elbetteki onun anlamlara sahip olmasıdır, değil mi? Fakat eğer matematiksel yöntemleri kullanarak matematiği ve matematiğin gücünü araştırmak istiyorsanız, anlamı “billurlaştırmak” için onu “kurutma”lı, kesin kurallar ile birlikte onu, yapay bir dil ile baş başa bırakmalısınız. Gerçekten de bu yapay dil, öyle bir dil olmalı ki mekanik bir ispat-kontrol algoritmasına sahip olsun.

İspat-Kontrol Algoritması

Hilbert’in sahip olduğu kilit düşünce, bu mükemmel kurutulmuş veya billurlaşmış aksiyomatik sistemi bütün matematik için tasavvur etmesiydi. Hilbert’in düşündüğü bu sistemde kurallar o kadar kati olacaktı ki, eğer herhangi bir matematikçi bir ispata sahip ise orada mekanik bir hakem, bir prosedür olacak ve “Bu ispat kurallara uyar” veya “Bu ispat yanlıştır, kurallara aykırıdır” diyebilecektir. İşte bu, anlama veya öznel anlamalara bağlı olmayan ve tamamıyla objektif matematiksel gerçekliği elde etmenin yolu, onu tamamıyla hesaplamaya indirgemektir. Bazıları “Bu bir ispattır” diye iddia ettikleri makaleyi, doğruluğuna karar vermesi iki yıl süren beşer bir hakeme sunmak yerine, bir makineye verebilir. Makine en sonunda; “Bu kurallara uyar” veya “4. satırda bir yazım yanlışı vardır” veya “3. satırın sonucu olduğu zannedilen 4. satırdaki şeyler, aslında sonuç değildirler” der. Ayrıca, bu nihai bir karar olacaktır, temyize gitmek yok!

Ana fikir, gerçekte matematiğin bu şekilde yapılması gerektiği değildir. Ben bunun bir iftira ve yanlış bir suçlama olduğunu düşünüyorum. Hilbert’in gerçekten matematikçileri makinelere dönüştürmek istediğini zannetmiyorum. Fakat Hilbert’in düşüncesi şöyleydi: Eğer matematiği alır ve bu şekilde işleyebilirseniz, matematiği matematiğin gücünü araştırmak için kullanabilirsiniz. Hilbert’in bulduğu bu çözüm önemli ve yeni bir şeydi. Hilbert, bunu  matematiğin geleneksel görüşünü yeniden doğrulamak, kendini haklı çıkarmak için istemekteydi...

Hilbert bir aksiyomlar kümesine ve bu biçimsel dile sahip olmayı önerdi. Bu biçimsel sistem, hepimizin üzerinde anlaşabileceği ve bütün matematiksel akıl yürütmeleri içerecek mükemmel bir sistem olacaktı! Bundan sonra oyunun bütün kurallarını bileceğiz. Hilbert, bu biçimsel aksiyomatik sistemin iyi olduğunu—yani tutarlı ve bütün olduğunu— göstermek ve insanlara bunu kabul ettirmek için sadece metamatematiği kullanmak istiyordu. Böylece felsefi sorunlar için “Bir ispat ne zaman doğrudur?” ve “Matematiksel gerçeklik nedir?” soruları bir defada çözümlenecekti. Bunun gibi, herkes matematiksel bir ispatın doğru olup olmadığı konusunda anlaşabilecekti. Ve gerçekten de biz bunun objektif bir şey olduğunu düşünüyorduk.

Başka bir deyişle, Hilbert yalnızca diyordu ki; eğer matematik gerçekten nesnel ise ve öznel elemanlar yok ise, matematiksel bir ispat ya doğru ya da yanlış ise, o durumda orada bunu belirlemek için kesin kurallar olmalı ve siz bütün detayları doldurduysanız yoruma bağlı olmamalıdır. Bütün detayları doldurmanız önemlidir—bu matematiksel mantığın görüşüdür; matematiksel akıl yürütmeleri hayale yer kalmayacak, hiçbir şey dışarıda kalmayacak şekilde  çok küçük basamaklara “atomize” etme düşüncesi! Eğer hiçbir şey dışarıda kalmadıysa, bir ispat otomatik olarak kontrol edilebilir. Bu gerçekte sembolik mantığın ta kendisi ve Hilbert’in düşüncesidir.

Hilbert gerçekten de bunun yapabileceğine inanıyordu. Böylelikle Hilbert bütün matematiği biçimselleştirecek ve hepimiz de bu biçimselliğin oyunun kuralları olduğunu kabul edecektik. O zaman matematiksel gerçekliğin çok çeşitleri değil yalnızca bir versiyonu olacaktı. Bir Alman matematiğine, bir Fransız matematiğine, bir İsveç matematiğine ve bir Amerikan matematiğine sahip olmak istemiyoruz. Hayır, biz evrensel bir matematik, matematiksel gerçeklik için evrensel bir kriter istiyoruz! O zaman herhangi bir ülkedeki bir matematikçi tarafından yazılan bir makale başka ülkelerdeki matematikçiler tarafından anlaşılabilir. Mantıklı gelmiyor mu?! Neticede, 1931’de Kurt Gödel bunun tamamen mantıksız olduğunu, asla yapılamayacağını gösterdiği zaman, bunun ne kadar şok edici olduğunu hayal edebilirsiniz!

Kurt Gödel Eksikliği Keşfeder (1931)

Gödel bunu Viyana’da yaptı. Fakat öyle zannediyorum ki, Gödel, şimdiki Çek Cumhuriyetinin Brünn veya Brno şehrinden. O zamanlar Brünn, Avusturya-Macaristan imparatorluğunun bir parçasıydı. Gödel, daha sonra Princeton’daki İleri Araştırmalar Enstitüsündeydi. Ben birkaç hafta önce Gödel’in Princeton’daki mezarını ziyaret ettim. Gödel’in evinin şimdiki sahibi, beni evini incelerken görünce [Gülüşmeler] polisi aramak yerine, beni evini ziyaret etmem için davet edecek kadar nazik biri! Onlar, bazı insanların tarihsel nedenlerden ötürü ilgilendikleri bir evin içinde olduklarını biliyorlar.

Peki öyleyse Kurt Gödel ne yaptı? Evet, Gödel matematiğin ne ile alakalı olduğu hakkındaki bu görüşü aşağı yukarı çürüttü. Gödel, meşhur sonucuna ulaştı: “Gödel’in eksiklik teoremi”.

Eksiklik

Gödel’in ulaştığı sonucu, Gödel’in orijinal yoluyla açıklayan sevimli bir kitap var. Gödel’in İspatı diye adlandırılan bu kitap, Nagel ve Newman tarafından yazılmıştır. Bu kitabı çocukken okumuştum, kırk yıl geçti kitap hâlâ satılmakta!

Gödel’in bu şaşırtıcı sonucu nedir? Gödel’in umulmadık keşfi, Hilbert’in yanıldığı, biçimciliğin yapılamayacağıdır. Yani, içinde bir şeyin doğru olup olmadığını duru ve açık kılacak, bütün matematiksel gerçekliği kapsayacak, bir kurallar kümesi üzerine anlaşıp matematiğin tümü için biçimsel bir aksiyomatik sisteme sahip olacak hiçbir yol yoktur!

Daha net bir ifadeyle, Gödel’in keşfettiği şey şuydu; sadece temel aritmetik ile, 0, 1, 2, 3, 4... ile ve toplama ve çarpma ile ilgilenin – bu “temel sayı kuramı” veya “aritmetik”tir— ve bunun için sadece bir aksiyomlar kümesini elde etmeye çalışın —bildik aksiyomlar Peano aritmetik diye adlandırılır—, bu durumda bile başaramazsınız! Toplama, çarpma, ve 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10… hakkındaki bütün gerçeği ve sadece gerçeği elde etmeye çalışan herhangi bir aksiyomlar kümesi eksik olmaya mahkumdur. Daha net bir ifadeyle, bu aksiyomatik sistem ya tutarsız olacak veya eksik olacaktır. Dolayısıyla, eğer siz bir aksiyomatik sistemin yalnızca doğruyu söylediğini kabul ederseniz, o zaman bu sistem size bütün doğruları söylemeyecektir. Toplama, çarpma ve 0, 1, 2, 3, 4… hakkındaki bütün doğruları elde etmenin hiç bir yolu yoktur! Özelde, eğer aksiyomların sizin yanlış teoremler ispatlamanıza izin vermediğini kabul ederseniz, bu durumda aksiyomatik sistem eksik olacaktır yani bu aksiyomlardan çıkan fakat ispatlayamayacağınız doğru teoremler olacaktır!

Bu kesinlikle harap edici bir sonuçtur ve bütün matematik felsefesi geleneği yere serilmiştir! Bu sonuç o zaman kesinlikle yıkıcı olarak düşünüldü. Fakat, belki siz 1931’de, hakkında endişelenilecek başka birkaç problemin olduğuna dikkat ettiniz. Avrupa’nın içinde bulunduğu durum kötüydü. Önemli bir ekonomik kriz vardı ve bir savaş tertipleniyordu. Bütün problemlerin matematiksel olmadığına katılıyorum! Yaşamda epistemolojiden çok daha başka şeyler de vardır! Fakat, merak etmeye başladınız. Pekala, eğer matematiğin geleneksel görüşü doğru değilse, o zaman doğru olan ne? Gödel’in eksiklik teoremi şaşırtıcıydı ve aynı zamanda korkunç bir şoktu.

Gödel bunu nasıl başardı? Evet, Gödel’in ispatı çok zekicedir. Nerdeyse çılgınca bir şeye benzeyen ispat, oldukça paradoksaldır. Gödel yalancı paradoksu ile başlar (“Ben yanlışım!”) ki bu ne doğru ne de yanlıştır.

“Bu cümle yanlıştır!”

Dahası, Gödel’in yaptığı şey kendi kendine “Ben ispatlanamam!” diyen bir cümle üretmektir. 

“Bu cümle ispatlanamaz!”

Eğer siz temel sayı kuramında, aritmetikte, böyle bir cümle yazabilirseniz- ispatlanamaz olduğunu ifade eden matematiksel bir cümleyi nasıl yaparsınız bilmiyorum, bunu yapabilmeniz için çok zeki olmanız gerekir -fakat eğer bunu başarabilirseniz, bir çıkmazda olduğunuzu görmek kolaydır. Sadece üzerinde biraz düşünün. Başınızın belâda olduğunu görmeniz kolaydır. Çünkü eğer ispatlanabilirse, cümle yanlıştır, değil mi? O halde siz çıkmazdasınız, siz yanlış sonuçları ispatlamaktasınız. Dahası eğer cümle ispatlanamazsa ve ispatlanamaz olduğunu söylüyorsa, bu durumda o cümle doğrudur, ve matematik eksiktir (tamamlanamazdır). Dolayısıyla her halükarda başınız beladadır! Hem de büyük bir belada!

Gödel’in orijinal ispatı çok çok zekicedir ve anlaşılması güçtür. İçinde yığınla karmaşık teknik detay vardır. Fakat eğer onun orijinal makalesine bakarsanız, bana öyle geliyor ki, içinde çok sayıda LISP[3] programlaması var veya en azından LISP programlamasına bayağı benzeyen bir şeyler var. Neyse, şimdi biz onu LISP programlaması diye adlandıracağız. Gödel’in ispatı çok fazla sayıda yinelenen fonksiyon içerir ve bu fonksiyonlar listelerle ilgilenen fonksiyonlardır ki bunlar LISP’in tam olarak ne olduğudur. O halde, 1931’de programlama dilleri olmasa bile, olayın gerçekleşmesinden programlama dilinin önemini kavramanın etkisiyle Gödel’in orijinal makalesinde açıkça bir programlama dili görürüz. Ve bu programlama diline bildiğim en yakın programlama dili LISP’dir, katıksız LISP’dir, yeterince ilginç olarak yan etkileri olmayan LISP’dir. Ki bu LISP’in kalbidir.

 Neticede, bu çok çok etkileyici bir sonuçtu ve insanlar gerçekte bunun ne anlama geldiğini bilmiyorlardı.

Şimdi ileriye dönük ikinci önemli adım Alan Turing tarafından yalnızca beş yıl sonra, 1936’da meydana geliyordu.

Alan Turing Hesaplanamazlığı keşfeder (1936)

Turing’in bütün bu sorunlara yaklaşımı Gödel’inkinden tamamen farklı ve daha derindir; çünkü Turing onu klozetten çıkarmıştır! [Gülüşmeler] Onun klozetten çıkardığı şey bilgisayardı! Bilgisayar Gödel’in makalesinde zımnidir. Fakat gerçekte bu, sıradan bir faniye görünür değildir, sadece o zaman değil, ancak ehemmiyetini fark ettikten sonra geriye dönük bakışlarla görülebilir. Dahası Turing gerçekte onu açığa çıkarmıştır.

Hilbert bir ispatın kurallara uygun olup olmadığına karar verecek “mekanik bir prosedür” olması gerektiğinden bahsetmişti. Ancak Hilbert mekanik bir prosedür ile ne kastettiğini hiçbir zaman netleştirmedi, bu tez kelimelerle sınırlı kaldı. Fakat Turing aslında kastedilen şeyin bir makine olduğunu söyledi, ve bir çeşit makine ki biz şimdi buna bir Turing makinesi diyoruz—fakat Turing’in orijinal makalesinde bu şekilde adlandırılmamaktaydı. Doğrusu, Turing’in makalesi, aynen Gödel’in makalesi gibi, bizim şimdi bir programlama dili ile kastettiğimiz şeyi içeriyordu. Fakat bu iki programlama dili birbirinden çok farklıydı. Turing’in programlama dili LISP gibi yüksek-seviyeli bir dil olmaktan çok bir makine diline benziyordu. Aslında o, çok basit olduğundan, bugün hiç kimsenin kullanmak istemeyeceği türden berbat bir makine dilidir.

Fakat Turing şu noktaya işaret eder: Turing makinesi çok basit olmasına ve makine dili oldukça ilkel olmasına rağmen, o çok esnek ve oldukça genel-amaçlı bir makinedir. Gerçekte, Turing, bir insan varlığının yapabileceği herhangi bir hesaplamayı, böyle bir makineyi kullanarak yapmak mümkün olmalıdır diyordu. Turing’in düşünce alıştırmaları şimdi çok önemli bir safhaya ulaşıyordu. Onun sorduğu şey böyle bir makine için neyin imkansız olduğudur? O makine ne yapamaz? Dahası, hemen o hiçbir Turing makinesinin halledemeyeceği bir soru buldu; öyle bir problem ki hiçbir Turing makinesi çözemez. Bu  duraksama (halting: bocalama, Ç.N.) problemidir, bir Turing makinesinin veya bir bilgisayar probleminin en sonunda duraksayıp duraksamayacağına önceden karar verme problemi.

Duraksama Problemi

Turing’in 1936 makalesi hakkındaki şaşırtıcı şey şudur. Her şeyden önce Turing, herhangi bir makinenin yapabileceği şeyi yapabilen esnek bir makineye, evrensel veya genel-amaçlı bir bilgisayar düşüncesine ulaştı. Herhangi bir hesaplamayı yapabilen bir hesap makinesi ki biz şimdi buna genel-amaçlı bir bilgisayar [computer: hesaplayıcı, hesap yapıcı Ç.N.] diyoruz. Turing hemen ardından böyle bir makinenin yapabileceklerinin sınırlı olduğunu gösterdi. Bu tür herhangi bir makine ile yapılamayacak şeyleri Turing nasıl buldu? Evet, çok kolay! Bu, bir bilgisayar programının süre sınırlaması olmaksızın en sonunda duraksayıp duraksamayacağı sorusudur.

            Eğer süre sınırlaması koyarsak, bu çok kolaydır. Bir programın bir yıl içinde duraksayıp duraksamayacağını öğrenmek isterseniz, programı sadece bir yıllığına çalıştırır neticede duraksayıp duraksamayacağını görürsünüz. Turing, süre sınırlaması yok ise başımızın büyük bir belada olduğunu göstermiştir. Şimdi şöyle diyebilirsiniz: “Bir yıldan fazla süre alan bir bilgisayar programı ne kadar hoştur?! Her zaman bir süre sınırlaması vardır!” Kabul ediyorum, bu pür matematiktir, gerçek dünya değildir. Yalnızca sonsuzlukla başınız belada! Fakat Turing şunu gösterdi ki eğer süre sınırı koymazsanız, o durumda siz gerçek zorlukların içindesiniz.

            Bu duraksama problemi olarak anılır. Dahası, Turing bir programın en sonunda duraksayıp duraksamayacağına önceden karar vermenin herhangi bir yolu olmadığını gösterdi.

            Sadece sabırlı olup, onu çalıştırarak neticede onun duraksayıp duraksamayacağını keşfedebilirsiniz. Sorun onu ne zaman bırakacağınızı kestirememenizdir. Turing, —bir şekilde Cantor’un sonsuz kümeler kuramından alınan— çok basit bir argüman olan Cantor’un köşegen argümanıyla (bunların tamamını açıklayacak zamanım yok) bu problemin çözülemeyeceğini gösterebildi.

            Hiçbir bilgisayar programı size başka bir bilgisayar programının neticede duraksayıp duraksamayacağını peşinen söyleyemez. Ve sorun, duraksamayanlardır. Bu, gerçekten bir sorundur. Sorun, ne zaman sona erdireceğimizi bilmemektir.

            Şimdi bu konuda ilginç olan şey, Turing’in hemen sonuç olarak şu çıkarımı yapmasıdır. Eğer hesaplama öncesi bir programın duraksayıp duraksamayacağına karar vermenin hiçbir yolu yok ise, akıl yürütme öncesi de çıkarım yapmanın herhangi bir yolu yoktur. O halde hiçbir biçimsel aksiyomatik sistem, bir programın duraksayıp duraksamayacağını önceden kestiremez.

            Çünkü eğer siz bir programın duraksayıp duraksamayacağı sonucunu çıkarmak için her zaman biçimsel bir aksiyomatik sistem kullanabiliyorsanız, o halde, bu size sonucu önceden hesaplamanın bir yolunu peşin olarak verecektir. Siz, sadece olası çıkarımları tüketerek—bunu pratikte yapamazsınız— fakat prensipte programın en sonunda duraksayacağının ya da hiçbir zaman duraksamayacağının ispatını bulana kadar, hangilerinin doğru olduğunu kontrol ederek olası ispatları büyüklük sırasına göre tüketebilirsiniz.

            Bu tamamıyla biçimsel bir aksiyomatik sistem fikrini kullanmaktır ki bunun için matematikçi olmanız gerekmez—sadece bu hesaplamayı bir bilgisayarda tüketirsiniz. Bir ispatın doğruluğunu kontrol etmek mekanik bir şeydir. Öyleyse bir programın duraksayıp duraksamayacağını her zaman ispat edebilen ve sonuç çıkarabilen biçimsel bir aksiyomatik sistem bulunsaydı, o zaman bu size bir programın duraksayıp duraksamayacağını önceden tahmin edebilen bir yol verecekti. Fakat bu imkansızdır, çünkü siz “Bu cümle yanlıştır!” gibi bir paradoksun içine düşersiniz. Şöyle bir program elde ettiniz: Bu program duraksar ancak ve ancak bu program duraksamaz. Temelde problem budur. Russell paradoksundaki ile aynı tada sahip bir argümanla karşılaştık.

            Böylelikle Turing bu sorunlara Gödel’den daha derin dalmıştır. Bir öğrenci olarak Gödel’in ispatını okuduğumda, ispatı basamak basamak takip edebiliyordum. İspatı, hoş bir çalışma olan Nagel ve Newman’ın kitabından okudum. Hayli anlaşılır, mükemmel bir kitap! 1958’de basılmış ve hâlâ yayında... Fakat ben, Gödel’in ispatıyla gerçekten kapıştığımı, onu anladığımı hakikaten hissedemiyordum. Her şey çok nazik, çok kırılgan ve çok yapay görünüyordu... Dahası hesaplama konusundaki bu işler klozetteydi, Gödel’in içindeydi, fakat açıkta değil, gizliydi. Biz gerçekten onunla mutabık değiliz.

            Turing, şimdi, gerçekten ilerliyordu. Bence, bütün mesele hakkında daha derinlere iniyordu. Sırası gelmişken; Turing, sadece Gödel’in üzerinde çalıştığı aksiyomatik sistemin değil, hiçbir biçimsel aksiyomatik sistemin işleyemeyeceğini gösteriyordu. Fakat bu biraz farklı bir bağlamda gerçekleşiyordu. Gerçekte Gödel 0, 1, 2, 3, 4 ... toplama ve çarpmaya bakıyordu. Turing ise daha tuhaf bir matematiksel sorunla ilgileniyordu. O, bir programın duraksayıp duraksamayacağı sorunu ile ilgileniyordu. Bu ise, Gödel’in orijinal makalesinin zamanında var olmayan matematiksel bir problemdi. Görüyorsunuz ki Turing tamamıyla yeni kavramlarla çalışmıştır...

            Fakat Gödel’in son derece zekice makalesi, Hilbert’in yanılmış olabileceğini hayal etme cesaretine sahip olan tek makale değildi. O zamanın başka ünlü bir matematikçisi vardı: von Neumann—yeri gelmişken, onun mezarını Princeton’da Gödel’in mezarının yakınında bulduğumu belirteyim—. Von Neumann, herhalde Gödel veya herhangi biri kadar zekiydi. Fakat von Neumann, Hilbert’in yanılmış olabileceğini hiçbir zaman aklına getirmemişti. Ve Gödel’in sonuçlarını açıkladığını duyduğu zaman von Neumann, hemen onu takdir etti ve sonuçlarını çıkarmaya koyuldu. Lakin von Neumann, “Onu kaçırdım, gemiyi kaçırdım, onu doğru olarak anlamadım!” diyordu. Dahası Gödel yaptı, öyleyse Gödel çok daha derindi...

            Gödel’in makalesi gibi, Turing’in makalesi de teknik detaylarla doludur. Çünkü Turing’in makalesinde bir programlama dili vardır dahası Turing nispeten daha büyük bir program verir. Tabi ki verdiği bu programın hataları vardı, çünkü bu programı—evrensel Turing makinesi için hazırlanmış bir programdır— önce çalıştırıp sonra hataları düzeltemiyordur. Ancak, temel şey fikirlerdir ve Turing’in çalışmasındaki yeni fikirler sadece çok heyecan vericidir! Bu nedenle ben Turing’in, Gödel’in ötesine geçtiğini düşünüyorum, fakat Gödel’in ilk adımı attığını hatırlamalısınız. Ve ilk adım tarihsel olarak en zordur ve en çok cesaret isteyen adımdır. Von Neumann’ın hiçbir zaman aklına gelmeyen, Hilbert’in yanılmış olabileceğini düşünme gibi bir şey!

            Pür Matematikteki Rastgeleliği Keşfettim

            Peki, sonra ne oldu? II. Dünya savaşı başladı. Turing kriptografi çalışmalarına koyuldu, von Neumann atom bombası patlamalarının nasıl hesaplanacağı üzerine çalışmaya başladı ve insanlar bir süreliğine eksiklik teoremini unuttu.

            Burası benim sahnede göründüğüm yerdir. Bu sorunlarla ilgilenen matematikçiler nesli II. Dünya savaşı ile birlikte sahneden çekildiler. 1950’lerde ben Birleşik Devletlerde, daha sonra Nagel ve Newman’ın kitabı olacak Scientific American’daki orijinal makaleleri okuyan bir çocuktum.

            Ben, matematikçilerin Gödel’i unutup, kendi favori problemleri üzerine çalışmaya koyulduklarının farkına varmadım.  Kendimi eksikliğe kaptırmıştım ve onu anlamakta ısrar ediyordum. Gödel’in eksiklik sonucu ilgimi çekmişti. Fakat ben onu gerçekten anlayamamıştım, zannımca orada bir bityeniği vardı... Turing’in yaklaşımında olduğu gibi, bunun daha derinlere indiğini düşünüyorum, fakat hâlâ tatmin olmuş değildim, onu daha iyi anlamak istiyordum.

            Daha sonra ben rastgelelik hakkında tuhaf bir görüşe vardım... Ben çocukken başka meşhur bir entelektüel mevzu hakkında bayağı bir tartışma okumuştum—matematiğin temelleri konusunda değil, fiziğin temelleri konusundaki bir sorun! Bunlar, görelilik kuramı ve kozmoloji ve daha çok kuantum mekaniği ve atomda neler olduğu üzerineydi. Öyle görünüyor ki, nesneler küçüldüğü zaman fiziksel dünya, bu sınıftaki nesnelerin davranışına tümüyle benzemeyen davranışlar gösteriyor. Orada nesneler bütünüyle çılgın gibi davranıyorlar. Gerçekte atomdaki nesneler rastgeledir—özünde önceden tahmin edilemezdir.

            Einstein bu düşünceden nefret ederdi. O, “Tanrı zar atmaz!” derdi. Yeri gelmişken belirtelim, Einstein ve Gödel, Princeton’da arkadaşlardı ve başkaları ile çok fazla konuşmazlardı. Birinden Einstein’ın, Gödel’in beynini kuantum mekaniği aleyhine yıkadığını duymuştum! [Gülüşmeler] Fizikçi John Wheeler, bana, Gödel’e kuantum belirsizliği ile Gödel’in eksiklik teoremi arasında herhangi bir bağ olup olmadığını sorduğunu fakat Gödel’in tartışmayı kabul etmediğini anlatmıştı...

            Bunların tümü hakkında okuyordum ve şunu merak etmeye başladım—zihnimin bir köşesinde şöyle bir soru belirdi— pür matematikte de rastgelelik olabilir mi?

            Kuantum mekaniğindeki görüş: Gelişigüzelliğin temel olduğu ve rastgeleliğin evrenin temel bir parçası olduğudur. Gündelik hayatta nesnelerin önceden tahmin edilemez olduğunu biliyoruz. Halbuki kuramda, Newton fiziğinde ve hatta Einstein’ın görelilik kuramında bile—bunların tümü kuantum fiziği karşısında klasik olarak adlandırılır— geleceği önceden tahmin edebilirsiniz. Denklemler ihtimali değil deterministtir. Eğer başlangıç koşullarını sonsuz hassasiyetle tam olarak bilir, denklemleri uygularsanız herhangi bir gelecek zamanı ve geçmişi bile sonsuz hassasiyetle  önceden tahmin edebilirsiniz. Çünkü denklemler her iki yöne, her iki istikamete de çalışır. Denklemler zamanın istikametini umursamaz...

            Bu şahane şey, bazen Laplasçı determinizm olarak anılır. Öyle zannediyorum ki, böyle anılmasının sebebi, Laplace’ın nerdeyse iki asır önce basılan Essai Philosophique sur les Probabilités adlı kitabıdır. Bu kitabın başında Laplace, prensipte Newton’un kanunlarını uygulayıp, şu anki şartları tam olarak bilen habis birinin, gelişigüzel bir uzaklıkla geleceği veya geçmişi tahmin edebileceğini açıklar. Bu tür dünya, hür irade ve ahlaki sorumluluk hakkında konuşabileceğiniz bir yer değildir fakat fiziksel hesaplamalar yapıyorsanız büyük bir dünyadır, çünkü her şeyi hesaplayabilirsiniz!

            Halbuki 1920’lerde kuantum mekaniği ile birlikte Tanrı atomda zar atıyor gibi görünmeye başladı. Çünkü, kuantum mekaniğinin temel denklemi Schrödinger denklemidir ve bu denklem, elektronun ne yapacağının olasılığı hakkındadır. Temel nicelik bir olasılıktır ve bu bir dalga denklemidir. Bu denklem, nasıl bir olasılıkla dalganın kendisi üzerine tesir ettiğini söyler. Dolayısıyla tümüyle değişik bir denklemdir, çünkü Newton fiziğinde bir parçacığın doğrultusunu tam olarak hesaplayabilir ve nasıl davranacağını tam olarak bilebilirsiniz; oysa kuantum mekaniğinde temel denklem, olasılıklardan bahseden bir denklemdir! Hepsi bu, var olan her şey budur!

            Bir elektronun nerede olduğunu ve hız vektörünün ne olduğunu—tam olarak hangi yönde ve ne kadar hızla gittiğini— harfiyen bilemezsiniz. Klasik fizikte olduğu gibi bir atomun, sonsuz hassasiyetle bilinen belli bir durumu yoktur. Bir elektronun nerede olduğunu tam olarak bilirseniz, o zaman onun hızı—momentumu— çılgınca belirsizleşecektir. Eğer siz elektronun hangi yönde ve hangi hızda gittiğini bilirseniz, o zaman onun konumu sonsuz belirsizleşecektir. Bu iyi bilinen Heisenberg belirsizlik prensibidir. Burada bir şeyi elde etmek için başka bir şeyi feda etmek gerekir, fiziksel evrenin bu şekilde çalıştığı görünüyor...

            İlginç tarihsel bir gerçek olarak insanlar bu fikirden nefret ettiler—Einstein nefret etti— fakat şimdi bunu kullanabileceklerini düşünüyorlar! Kuantum hesaplama olarak adlandırılan yeni bir çılgın alan vardır, buradaki düşünce onunla dövüşmeye bir son vermektir. Eğer ona üstün gelemiyorsanız, ona katılın! Yani siz kuantum paralelizm olarak adlandırılan bir şeyi kullanarak belki de yepyeni bir teknoloji üretebilirsiniz. Eğer bir kuantum bilgisayarı belirsiz ise, belki siz aynı anda belirsiz olarak çok işlem yaptırabilirsiniz! Dolayısıyla amaç onunla dövüşmek değil onu kullanmaktır, ki bu büyük bir fikirdir.

            Fakat ben henüz çocukken insanlar hâlâ bunun üzerinde tartışıyorlardı. Kuantum mekaniğinin inşasına yardım etmesine rağmen Einstein bununla hâlâ savaşıyordu. Ve insanlar “Zavallı adam. Hayatının en önemli devrini tamamladı!” diyorlardı.

            Bundan dolayı ben pür matematikte de bir rastgelelik olabilir diye düşünmeye başladım. Eksiklik için gerçek sebepler var olabilir diye şüphelenmeye başladım. Bu noktaya bir örnek, temel sayı kuramıdır ki, orada çok zor bazı sorular vardır. Bireysel asal sayıları ele alalım. Eğer onların detaylı yapılarını merak ediyorsanız, asal sayılar önceden tahmin edilemez bir şekilde davranırlar. İstatistiksel modellerin olduğu doğrudur. Asal sayı teoremi adı verilen ve genel olarak asal sayıların ortalama dağılımını oldukça doğru olarak tahmin eden bir şey vardır. Fakat bireysel asal sayıların detaylı bir dağılımına gelince, bu oldukça rastgele görünüyor!

            Böylece ben rastgelelik hakkında düşünmeye başladım... Belki de bu, gerçekte neler olduğudur ve bütün bu eksiklik için daha derin bir sebep var diye düşünmeye başladım. Böylece 1960’larda ben ve benden bağımsız olarak başka bazı insanlar, yeni fikirlere ulaştı. Bu yeni fikirler kümesini algoritmik bilgi kuramı olarak adlandırmayı seviyorum.

Algoritmik Bilgi Kuramı

Bu isim onu çok etkileyici kılıyor ama temel fikir yalnızca bilgisayar programlarının boyutuna bakmaktır. Gördüğünüz üzere, bu sadece bir karmaşıklık ölçütüdür, sadece hesabî  karmaşıklığın bir türüdür...

Öyle zannediyorum ki hesabî karmaşıklık fikrini ilk duyduğum kişilerden biri von Neumann’dır. Turing, matematiksel bir kavram olarak bilgisayar fikrini bulmuştur. Bu asla hata yapmayan, çalışması için ne kadar zaman ve yer lazımsa ona sahip olan mükemmel bir bilgisayardır. Her zaman sonludur fakat hesaplamalar ne kadar uzarsa o kadar gidebilir. Turing bu fikre ulaştıktan sonra, bir matematikçi için sonraki mantıksal basamak, bir hesaplama yapması için gereken süreyi—onun karmaşıklığını— araştırmaktır. Gerçekten de von Neumann, zannediyorum 1950 civarında, bir yerde, hesaplamaların zamansal karmaşıklığı ile ilgili yeni bir alanın olması gerektiğini tavsiye etmiştir. Bu alan şimdi çok gelişmiş bir alandır. Dolayısıyla, insanların çoğu bununla uğraşıyorsa, o halde ben başka bir şeyle uğraşacağım!

Pratik açıdan süre çok önemli olsa bile, hedefim süreye bakmak değil, bilgisayar programlarının büyüklüğüne, verilen bir hedefi gerçekleştirmesi için bilgisayara vermeniz gereken bilgi miktarına bakmaktı. Pratik bir bakış açısından, gerekli bilgi miktarı çalışma süresi kadar ilginç değildir. Tabi ki bilgisayarlar için işlemleri mümkün olduğunca hızlı yapmak çok önemlidir... Halbuki kavramsal bir bakış açısıyla açığa çıktı ki, bu yol hiç önemli değil. Temel bir felsefî bakış açısıyla, doğru olan, süreye bakmak değil, bilgisayar programının büyüklüğüne bakmaktır. Niçin? –Açıkçası şunu da ifade etmekte fayda var, bu fikir şahsıma ait olduğu için bu fikri kayıracağım! Çünkü, program-büyüklüğü karmaşıklığı fizikteki bir çok temel madde ile bağlantılıdır.

            Biliyorsunuz, fizikte entropi denen bir kavram vardır. Entropi bir sistemin ne kadar düzensiz olduğunun bir ölçütüdür. Entropi özellikle meşhur 19. yüzyıl fizikçisi Boltzmann’ın çalışmalarında çok önemli bir rol oynamış ve entropi, istatistiksel mekanik ve termodinamik alanlarını kurmuştur. Entropi fiziksel bir sistemin ne kadar düzensiz olduğunu, ne kadar kaotik olduğunu ölçer. Bir kristal düşük bir entropiye sahiptir, yüksek sıcaklıktaki bir gaz ise yüksek entropiye sahiptir. Entropi, kaos veya düzensizliğin miktarıdır ve fizikçilerin sevdiği bir rastgelelik kavramıdır.

Dahası, entropi bazı temel felsefî sorularla ilintilidir—başka bir meşhur tartışma olan, zamanın oku sorunu ile de alakalıdır. Boltzmann, istatistiksel mekanik denen bu harika şeyi keşfettiğinde—onun kuramı, bugün 19. yüzyılın şaheserlerinden kabul edilir ve şimdiki fizik, istatistiksel mekaniktir—, hayatına intihar ederek son verdi, çünkü insanlar onun kuramının açıkça yanlış olduğunu söylüyorlardı! Niçin açıkça yanlıştı? Çünkü, Boltzmann’ın kuramında entropi artmalıydı ve bundan dolayı, zamanın bir oku bulunuyordu. Fakat Newtoncu fiziğin denklemlerine bakarsanız, orada zaman ters döndürülebilirdir. Gelecek hakkında kehanette bulunma ile geçmişi tahmin etme arasında fark yoktur. Eğer siz bir anda her şeyin tam olarak nasıl olduğunu bilirseniz, her iki yöne de hareket edebilirsiniz. Denklemler yönlere aldırmazlar. Zamanın yönü yoktur, geriye doğru gitme aynen ileriye doğru gitme gibidir.

            Fakat günlük hayatta ve Boltzmann’ın istatistiksel mekaniğinde, ileriye gitme ve geriye gitme arasında fark vardır. Cam bardaklar kırılır, halbuki kendiliğinden yeniden birleşmezler! Ve Boltzmann’ın kuramına göre, entropi artmalı ve sistem daha da düzensizleşmelidir. Fakat, insanlar “bunu Newtoncu fiziğin sonuçlarından çıkaramazsınız!” diyordu. Boltzmann buna aldırış etmiyor, gazı inceliyordu. Bir gazın atomları bilardo topları gibi sıçrarlar. Bilardo topları modeli, bir gazın nasıl çalıştığının modelidir. Ve her etkileşim ters döndürülebilirdir. Eğer bir filmi geriye doğru çalıştırırsanız aynı görünür. Eğer bir gazın küçük bir bölümüne kısa süreli bakarsanız, filmi doğru yönde mi yanlış yönde mi izlediğinizi söyleyemezsiniz.

            Fakat Boltzmann’ın kuramı zamanın bir oku bulunduğunu söylüyor—Bir sistem düzenli bir hâlde başlar ve çok karışık bir düzensiz hâl ile son bulur. Almanca’da korkunç bir ifade bile vardır: ısı ölümü. İnsanlar, Boltzmann’ın kuramına göre evrenin korkunç, çirkin bir maksimum hâl ile veya ısı ölümü ile son bulacağını söylüyorlardı! Bu korkunç bir tahmindi! Bundan ötürü Boltzmann’ın kuramı çokça tartışıldı. Ve belki de Boltzmann’ın intihar etmesinin nedenlerinden biri de budur.

            Benim görüşlerim ile Boltzmann’ın görüşleri arasında bağlantılar var. Çünkü bilgisayar programlarının büyüklüğüne bakmak, fiziksel bir sistemin düzensizlik ölçüsü ile bayağı benzeşir. Bir gazın bütün atomlarının yerini söylemek için büyük bir program gerekir. Fakat bir kristal, düzenli yapısından dolayı o kadar büyük bir program gerektirmez. Entropi ile program-büyüklüğü karmaşıklığı kavramı yakından alakalıdır...

            Program-büyüklüğünün karmaşıklığı fikri, aynı zamanda bilimsel metot felsefesi ile de alakalıdır. En basit kuramın en iyi olduğunu söyleyen Ockhamlı’nın usturası fikrini duymuşsunuzdur. Pekala kuram nedir? Kuram, gözlemleri önceden tahmin etmek için hazırlanan bir bilgisayar programıdır. Ve en basit kuramın en iyi olduğunu söyleyen kuram fikri, kısa bir bilgisayar programı en iyi kuramdır şekline dönüşür. Ya kısa bir kuram yoksa? Ya deneysel bilgilerin verili bir kümesini yeniden üretmek için en kısa program veya en iyi kuram, bilgilerin çokluğuyla aynı olursa? O zaman kısa bir programı işe yaramaz, uydurulmuş demektir. Oysa bilgiler sıkıştırılamaz, rastgeledir. Bu durumda kuram faydalı bir iş görmez. Bir kuram, bilgileri çok daha küçük kuramsal varsayımlar kümesine sıkıştırabildiği ölçüde iyidir. Ne kadar sıkıştırma olursa o kadar iyidir! Fikir budur...

            Dolayısıyla, program büyüklüğü fikrinin büyük felsefi ehemmiyeti vardır ve siz rastgeleliği veya maksimum entropiyi, hiç sıkıştırılamayan bir şey olarak tanımlayabilirsiniz. Bu, öyle bir nesnedir ki, esasen onu başkalarına tanımlayabilmek için, onlara o nesneyi gösterip, “Bu budur” demekten başka çıkar yolunuz yoktur. Çünkü bir yapı veya model (pattern: örüntü, Ç.N.) yoktur. Kısa bir tanımlama yoktur. Ve bir şey, “bizatihi kendisi” olarak anlaşılmalıdır, indirgenemezdir.

            Rastgelelik=Sıkıştırılamazlık

            Öteki uç, çok düzenli bir modeli bulunan nesnedir. Böylece siz sadece şöyle diyebilirsiniz: o, “milyon tane 0” veya “01’in yarım milyon defa tekrarı”, 01,01,01 çiftlerinin yarım milyon kez tekrarını içerir. Bunlar çok kısa bir tanıma sahip, çok uzun nesnelerdir. Çok kısa bir tanıma sahip uzun nesnelerden biri efemeris’tir. Zannediyorum böyle adlandırılıyordu. Bu, gökte görüldüğü gibi, gezegenlerin günlük ve yıllık mevkilerini tayin eden bir tablodur. Gezegenlerin gökte her akşam nerede görüneceğini hesaplamak istiyorsanız, bütün bu astronomik bilgileri Newtoncu fiziği kullanan küçük bir FORTRAN programına sıkıştırabilirsiniz.

Fakat eğer bir rulet çarkının nasıl işlediğine bakıyorsanız, o zaman ortada bir model yoktur ve bu durumda sonuçlar dizisi sıkıştırılamaz. Çünkü, orada bir model bulunsaydı, o zaman insanlar bunu kazanmak için kullanacak ve kumarhane sahibi olmak öyle iyi bir iş olmayacaktı! Kumarhanelerin  çok para kazanmaları, bir rulet çarkının ne yapacağı hakkında kehanette bulunmanın gerçekte yolu olmadığını gösteriyor. Herhangi bir model yoktur—kumarhaneler bunu sağlama almak için işlerini icra ediyorlar!

            Böylece bu yeni fikre vardım. Bu görüş, rastgeleliği tanımlamak için program-büyüklüğü karmaşıklığını kullanır, bilgisayar programlarının büyüklüğüne bakıp—çalışma-süresi kavramı yerine, program-büyüklüğü kavramını düşünmeye başlarsanız—; ortaya ilginç bir şey çıkar ve ne tarafa yüzünüzü çevirirseniz hemen eksiklikle karşılaşırsınız! Hemen matematiksel akıl yürütmenin veya herhangi bir bilgisayar programının gücünü aşan şeylerle karşılaşırsınız. Onlar her yerde açığa çıkar!

            Bu sonuç çok dramatiktir! Gödel’den bu yana sadece üç adım attık. Gödel’de çok ilginç olarak akıl yürütmenin önünde sınırlar vardır, Turing’de bu çok daha doğal gelir, ve sonra, program büyüklüğüne bakmaya başladığınızda doğal olarak, eksiklik, matematiğin sınırları hemen yüzünüze çarpar! Niçin?! Pekala, benim kuramımda, soracağınız ilk soru  başınızı belaya sokar. O soru nedir? Bir şeyin karmaşıklığını, o şeyi hesaplayan en küçük bilgisayar programının büyüklüğüyle ölçüyorum. Fakat, en küçük bilgisayar programına sahip olduğumdan nasıl emin olabilirim?

Diyelim ki belirli bir hesaplamaya, bir çıktıya sahibim. Öyle ki bunu merak ediyorum ve bunu hesaplayan şirin, küçük bir bilgisayar programım var. Ve bu programın bu çıktıyı üreten eldeki olası en küçük, en kısa program olduğuna inanıyorum. Ben ve bir kaç arkadaşımın uzun uğraşlar sonucu ulaştığı bu programın iyi program olduğunu ve kimsenin daha iyisini bulamadığını farz edelim. Peki biz bu düşüncenin doğruluğundan nasıl emin olacağız? Cevap: Emin olamayacağız. Asla emin olamayacağımız ortaya çıkmıştır! Siz benim zarif diye nitelediğim bir bilgisayar programının; o programın ürettiği çıktıya bakarak bu çıktıyı üretebilecek en kısa programın bu program olup olmadığını hiçbir zaman bilemezsiniz. Asla! Bu, yeterince şaşırtıcı olarak matematiksel akıl yürütmenin gücünü aşar.

Fakat herhangi bir hesabî amaç için bir kez bilgisayar programlama dilini sabitlediğinizde, bilgisayar programlama dilinde karar kıldığınızda ve eğer kafanızda belirli bir çıktı var ise, en azından bunun için mümkün olan en küçük bir program var olmalıdır. Arada bir bağ olabilir, belki birkaç tane vardır, değil mi? Fakat en azından diğerlerinden daha küçük bir tane olmalıdır. Ama siz asla onu bulduğunuzdan emin olamazsınız!

Ve kesin sonuç, ki benim gözde eksiklik sonuçlarımdan biridir, şudur; eğer N bit(parça) aksiyomunuz var ise ve herhangi bir program N bitten daha uzun ise, siz bu programın zarif yani olası en küçük program olup olmadığını asla ispatlayamazsınız. Bu temelde işin nasıl yürüdüğüdür. Dolayısıyla herhangi bir verili matematiksel aksiyomlar kümesi, Hilbert’in tarzında herhangi bir formel aksiyomatik sistem; yalnızca sonlu, çok sayıda programın zarif olduğunu ispatlayabilir ve onların çıktısı için olası en kısa program olduğunu ispatlayabilir.

Daha kesin olarak, eğer program aksiyomların bilgisayarlaşmış biçiminden-bu gerçekte sizin aksiyomlarınız için ispat-kontrol programının büyüklüğüdür- daha büyük ise başınız zarif bir program ile derttedir. Aslında, bu, bütün olası teoremleri üreten ve bütün olası ispatları çalıştıran programın büyüklüğüdür. Eğer kafanızda belirli bir programlama dili varsa, ve formel bir aksiyomatik sistemi yürürlüğe koymak için belirli büyüklükteki bir programa ihtiyacınız varsa, bu, ispat-kontrol algoritmasını yazmak ve bütün teoremleri süzüp bütün olası ispatları elde etmek yoluyla çalışan bir program yazmak demektir. Eğer bu program belli bir dil ve büyüklükte ise ve eğer siz bu programı, aynı dildeki daha büyük programlarla kıyaslayarak böyle bir programın zarif olup olmadığını anlamaya çalışıyorsanız, bu programın zarif olduğundan hiçbir zaman emin olamazsınız. Aynı dilde daha küçük bir program yoluyla aksiyomların kullanıldığı bir programın zarif olduğunu hiçbir zaman ispatlayamazsınız. Bu temelde onun nasıl çalıştığıdır.

Öyleyse, sonsuz sayıda zarif program vardır. Herhangi bir hesabî amaç için en azından bir tane zarif program bulunmalıdır ve belki de birkaç tane vardır. Fakat siz sonlu sayıdaki durumlar haricinde bundan hiçbir zaman emin olamazsınız. Bu benim ulaştığım sonuçtur ve ben bununla iftihar ediyorum! –Bir kutu soda alabilir miyim? Çok teşekkürler! Bu şarap veya bira olsaydı konuşmam daha ilginç olurdu! [Gülüşmeler]

Dolayısıyla, program-büyüklüğü karmaşıklığını hesaplayamayacağınız açığa çıktı. Herhangi bir şeyin program-büyüklüğü karmaşıklığının ne olduğundan asla emin olamazsınız.  Çünkü bir şeyin program-büyüklüğü karmaşıklığına karar vermek demek, onu hesaplayan en kısa programın büyüklüğünü bilmek demektir fakat bu, şu demek:—temelde bu aynı problemdir—o halde benim bileceğim bu programın olası en kısa program olduğu ve bu programın zarif bir program olduğudur. Fakat program aksiyomlardan büyük ise bunu yapamazsınız. Öyleyse eğer aksiyomlar N bit ise, siz karmaşıklığı N bit’ten büyük olan herhangi bir şeyin, ki bu neredeyse her şeydir çünkü neredeyse her şeyin karmaşıklığı N bit’ten fazladır, program-büyüklüğü karmaşıklığını asla belirleyemezsiniz. Nerdeyse her şeyin sizin kullandığınız aksiyomlardan daha fazla karmaşıklığı vardır.

Ben bunları neden söylüyorum? Aksiyomların kullanılma sebebi: Basit ve inanılır olmalarıdır. Bundan dolayı, matematikçilerin normalde kullandıkları aksiyomlar kümesi yeterince özdür, aksi takdirde kimse onlara inanmazdı! Bu şu demek: Pratik olarak sonsuz miktarda bilgi içeren matematiksel gerçekliğin bu geniş dünyası oradadır, fakat herhangi verili bir aksiyomlar kümesi bu bilginin sadece küçük sonlu bir miktarını zaptedebilir! Ve bu bizim başımızın neden belada olduğunu açıklar. Bu benim son kararımdır. Bu gerçek ikilemdir.

Böylece özetle, bana göre, Gödel’in eksikliğini gizemli ve kaçınılmaz olmaktan çok, doğal ve kaçınılmaz kılan iki yol vardır: bazı şeylerin mantığı olmadığını söyleyen fizikteki rastgelelik fikri, aynı zamanda pür matematikte de vardır. Bu,  onu söylemenin bir cihetidir. Fakat onu söylemenin daha iyi bir yolu vardır: Matematiksel gerçeklik sonsuz miktarda bir bilgidir, halbuki herhangi belirli bir aksiyomlar kümesi sadece sonlu miktarda bir bilgiye sahiptir. Çünkü oyunun kuralları olarak üzerinde anlaştığınız sadece sonlu sayıda prensip olacaktır. Ve ne zaman herhangi bir cümle, herhangi bir matematiksel iddia bu aksiyomlardan daha fazla bilgi içerse, o durumda doğal olarak, bu aksiyomların yeteneklerini aşacaktır.

Görüyorsunuz ki, matematik her şeyi bayağılaştırmakla ilerler! Matematiğin ilerlediği yol şudur: Orijinali çok büyük gayret gerektiren bir sonucu elde edip bunu daha genel bir kuramın bayağı bir sonucu haline dönüştürmek!

Fermat’ın “son teoremi”ni içeren bir örnek vereyim: x, y, z, n pozitif tamsayı olmak üzere ve n, 2’den büyük olmak üzere

                                           xn + yn = zn

iddiasının çözümü yoktur. Bu iddianın, Andrew Wiles tarafından yakın zamanda verilen ispatı yüzlerce sayfa uzunluktadır, fakat belki de bir veya iki yüz yıl sonra bir sayfalık ispatı olacaktır! Fakat bu bir sayfalık ispat, kavramlarıyla bir kuram icat eden bütün bir kitap gerektirecektir. Fermat’ın son teoremi hakkında düşünmek için bu kavramlar doğal kavramlar olacaktır. Ve siz bu kavramları kullandığınızda, o hemen aşikâr olacaktır. Wiles’ın ispatı bu düşünceden sonra aşikâr olacaktır, çünkü siz onu uygun bir kuramsal bağlama oturtmuş olacaksınız.

Ve eksiklikte, aynı şey oluyor.

Uzun ve çözülemeyen bir ispat ile birlikte Gödel’in sonucu da herhangi esaslı bir temel sonuç gibi, çok gizemli ve karmaşık olarak başlar. Gödel’in orijinal makalesi ile Einstein’ın görelilik kuramı hakkında insanlar aynı şeyleri söylemişlerdi. Dedikleri: bütün gezegen üzerinde bu kuramı beşten daha az kişinin anladığıydı. Eddington hakkındaki espri şudur; kraliyet hanedanından bir astronom olan Sör Arthur Eddington resmi bir akşam yemeği partisindeymiş—I. Dünya Savaşından hemen sonra— ve Einstein’ın kuramını anlayan üç kişiden biri olarak tanıtılmış. Eddington: “Görelim, Einstein ve ben varız fakat öbür adam kim?” demiş. Ben bu espriyle yıkılıyorum! [Gülüşmeler]

1931’de Gödel’in ispatı buna benziyordu. Onun orijinal makalesine bakarsanız, çok karmaşık olduğunu görürsünüz. Detaylar, bizim şimdi programlama detayları dediğimiz detaylardır-gerçekte o makale, öyle komplikeydi ki şimdi hepimiz nasıl ele alacağımızı biliyoruz- fakat o zaman için bu çok gizemli görünüyordu. Ayrıca bu 1931’deki bir matematik makalesidir. Ve siz LISP’in icat edilmesinden 30 yıl önce birdenbire LISP programlaması ile aynı kapıya çıkan şeyleri yapıyorsunuz! Dahası, o zaman bilgisayar bile yoktu!

Fakat Turing, Gödel’in sonucunu çok daha doğal görünür kılmıştır. Bence, benim program-büyüklüğü karmaşıklığı ve bilgi -gerçekte, algoritmik bilgi içeriği- Gödel’in sonucunu daha doğal görünür ve hatta görünür kılmıştır. Ben buna aşikâr, kaçınılmaz diyeceğim. Fakat elbette ki, onun çalıştığı bu yol bizim nasıl ilerlediğimizdir.

Buradan Nereye Gideceğiz?!

Yine de şunu söylemeliyim: Burada anlatılanlar gerçekten doğru ve bu kadar basit olsaydı, o zaman bu, metamatematik alanının sonu olurdu ki böyle bir son acıklı olurdu. Çünkü bu durum bütün alanın ölmüş olduğu manasına gelirdi ki ben bunun böyle olduğuna inanmıyorum!

Biliyorsunuz, bu konuşmanın benzer birçok biçimini yıllardır veriyorum ve bu sayede bir kariyer elde ettim, bir meslek sahibi oldum! Bu, dünyayı görmeye başladığım bir yol, bir turizmdir! Seyahat etmenin de güzel bir yoludur!... Bu konuşmalarımda normal matematiksel akıl yürütmenin gücünü aşan konulara değinmekten hoşlanıyorum. Benim favori örneklerim ise Fermat’ın son teoremi, Riemann hipotezi ve dört-renk sanısıdır. Ben çocukken, bunlar matematikteki çözülmemiş en seçkin üç soruydu.

Fakat eğlenceli bir şey oldu: Önce dört-renk problemi bilgisayar ispatıyla çözüldü ve bu ispat yakın zamanda bayağı geliştirildi. En son biçimi daha çok fikir ve daha az hesaplamaya dayanıyor, dolayısıyla bu ileriye dönük büyük bir adımdır. Daha sonra Wiles, Fermat’ın son teoremini çözdü. İspatta yanlış bir basamak vardı, fakat şimdilerde herkes yeni ispatın doğruluğu hakkında ikna olmuştur.

Aslında, Wiles Haziran 1993’te Cambridge’de ispatını sunduğunda ben orada değil, Fransa’da bir toplantıdaydım. Ve Wiles’ın ispatını sunduğu haberi e-mail’lerde dolaşıyordu. O kadar hızlı gerçekleşti ki ben toplantının o bölümünde başkanlık yapıyordum, toplantının organizatörü, “Evet, bu şaka ortalıkta dolaşıyor, niçin bir anons yapmıyoruz. Sen bu bölümün başkanısın, bu anonsu sen yap!” dedi. Böylece ben ayağı kalktım: “Bazılarınızın duymuş olabileceği üzere, Andrew Wiles Fermat’ın son teoremini henüz ispatladı.” dedim ve ortalığa bir sessizlik hakim oldu! Ama daha sonra iki kişi geldi ve: “Şaka yapıyorsunuz, değil mi?” dedi. [Gülüşmeler] “Hayır, şaka yapmıyorum.” dedim. O gün 1 Nisan değildi!

Neyse ki bildiğim kadarıyla Riemann hipotezi hâlâ çözülememiştir!

Halbuki ben Fermat’ın son teoremini, normal matematiksel metotların gücünün belki de ötesinde bir şeylere, eksikliğe olası bir örnek olsun diye kullanıyordum. Güzel bir örneğe ihtiyacım vardı, çünkü insanlar bana, “Peki, bunların tümü iyi ve güzel, ABT (Algoritmik Bilgi Kuramı) güzel bir kuram, fakat bize, gündelik aksiyomların gücünü aştığına inandığın bir matematiksel sonuç örneği ver.” diyorlardı. Ve ben, pekala, Fermat’ın son teoremi olabilir derdim!

Dolayısıyla ortada şöyle bir sorun var. Algoritmik bilgi kuramı çok hoştur ve bu kuram, ispatlayamayacağınız yığınla şey olduğunu göstermiştir, peki ya bireysel matematiksel sorulara ne demeli? Doğal bir matematiksel soru için ne demeli? Bu metotlar uygulanabilir mi? Cevap hayırdır. Benim metotlarım göründükleri gibi genel değildir. Ortada teknik sıkıntılar vardır. Ben Fermat’ın son teoremini bu metotlar ile analiz edemem. Bereket versin ki durum böyle! Çünkü eğer kendi metodumun, Fermat’ın son teoreminin çözümsüzlüğünü gösterdiğini iddia etmiş olsaydım, biri onu çözdüğünde bu durum çok can sıkıcı olurdu!

Dolayısıyla sorun şudur: Bu olumsuz sonuçlara rağmen, matematikçiler bu kadar ilerlemeyi nasıl başardılar ve eksikliğe rağmen, matematik bu kadar güzel nasıl işliyor? Biliyorsunuz, ben karamsar değilim; fakat benim sonuçlarım matematik ve matematikçiler hakkında yanlış kanaatlere sahip. Fazla karamsar olan ben değil, vardığım sonuçlardır!

Dolayısıyla ilginç bir soru olumlu sonuçlara bakmaktır diye düşünüyorum... Zaten çok fazla olumsuz sonuç vardır! Eğer yüzeysel değerlerine bakarsanız, matematik yapmanın hiçbir yolu yoktur, matematik yapmak imkansız gibi görünmektedir. Neyse ki matematik yapan bizler için, durum böyle görünmüyor. Dolayısıyla, olumlu sonuçlara bakmalıyız diye düşünüyorum... Temel sorunlar, felsefî sorunlar gibi büyüktür. Çünkü hiçbir zaman onları tüketemezsiniz. Her nesil ileriye doğru birkaç adım atar... Bundan dolayı ben bu alanda çok daha ilginç çalışmaların yapılacağını düşünüyorum.

Burada ilginç olan bir başka sorun da şudur: Program büyüklüğü, karmaşıklığın bir ölçütüdür ve biliyoruz ki bu metamatematikte iyi çalışıyor; fakat bunun gerçek dünyadaki karmaşıklık ile herhangi bir alakası var mı? Sözgelimi, biyolojik organizmaların karmaşıklığına ne demeli? Bir evrim kuramına ne demeli?

Von Neumann hayat evriminin genel kuramı hakkında konuştu ve ilk basamağın karmaşıklığı tanımlamak olacağını belirtti. Burada karmaşıklığın bir tanımı yapılmış fakat bu, kuramsal biyolojide insanların kullanması için doğru gözükmüyor. Ve kuramsal biyolojide böyle bir şey yoktur, henüz yoktur!

Bir matematikçi olarak birileri genel şartlar altında yaşamın evrimleşmesi gerektiğini belirten genel bir sonuç ispatlarsa, bu benim hoşuma gider. Fakat genel matematiksel ortamda yaşamı nasıl tanımlayabileceğimizi bilmiyorum. Biz ona rastladığımız zaman onu tanırız, değil mi? Eğer arabanızla canlı bir şeye çarparsanız, bunu bilirsiniz! Fakat bir matematikçi olarak ben, caddede koşan güzel bir geyik ile komşumun sokağa koyduğu çöp yığını arasındaki farkı nasıl açıklayacağımı bilmiyorum! Evet, gerçekte bu çöp yaşam ile bağlantılıdır ve yaşam tarafından üretilen bir enkazdır...

Gelin öyleyse bunun yerine bir geyik ile bir taşı kıyaslayalım. Pekala, taş daha serttir, fakat bu geyiğin canlı bir varlık, taşın ise güzel bir pasif nesne olması arasındaki temel farkı açıklıyor gibi görünmüyor. Pratikte, bizim için bunlar arasındaki farkı söylemek elbette ki çok kolay olacaktır. Fakat esas fark nedir? İnsanlar bunu matematiksel olarak anlayabilir mi?

Böylelikle, von Neumann’ın soruşturduğu şey matematiksel genel bir kuramdı. Von Neumann yeni matematiksel kuramlar icat etmeyi seviyordu ve bunu alışkanlık haline getirmişti. Her gün kahvaltıdan önce bir şey icat ediyordu: Oyunlar kuramı, kendini-yeniden üreten makine (otomata), kuantum mekaniğinin Hilbert uzay formülasyonu.... Von Neumann Hilbert uzay formülasyonunu kullanarak kuantum mekaniği üzerine bir kitap yazdı. Von Neumann Hilbert’in yanında eğitimini aldı. Ve o, bu uzayların, kuantum mekaniğini inşa etmenin doğru matematiksel iskeleti olduğunu söyledi.

Von Neumann her zaman matematiğin yeni alanlarını icat etmiştir. Ayrıca o benim çocukluk kahramanlarımdan biri olduğundan ve Gödel ve Turing hakkında konuşmuş olduğundan kendi kendime: “von Neumann bunu yapabildiyse, ben de bunu deneyebilirim” derdim. Von Neumann hesaplamaların karmaşıklığının bir kuramı olması gerektiğini bile teklif etmişti. O, bu yönde hiçbir adım atmadı, fakat ben öyle zannediyorum ki, von Neumann’ın bunun gelişmekte olan ilginç yeni bir alan olması gerektiğinden bahsettiği bir yazısını bulabilirsiniz. Ve von Nuemann kesinlikle haklıydı.

Von Neumann yaşamın genel bir matematiksel kuramına sahip olmamız gerektiğini de belirtti... Biz bunun çok genel bir kuram olmasını istiyoruz fakat biyokimya veya jeoloji gibi düşük-seviyeli sorularla uğraşmak istemiyoruz... Onun ısrar ettiği konu, bizim nesneleri daha genel bir yoldan yapmamız gerektiğiydi. Çünkü von Neumann şuna inanıyordu; eğer Darvin haklıysa, o zaman bu muhtemelen çok genel bir şeydir ve ben de bunu yaptığıma inanıyorum.

Örneğin, bir genetik programlama düşüncesi var, bu, o düşüncenin bilgisayarlaşmış biçimidir. Bir programın bir şeyleri yapması için yazmak yerine, onu deneme yanılma yolu ile iyi bir şekilde yavaş yavaş geliştirirsiniz. Ve bu, dikkate değer bir güzellikte çalışır gibi görünür, fakat siz bunun bu şekilde davranacağını ispatlayabilir misiniz? Veya Tom Ray’ın Tierra’sına bir göz atın... Biyoloji bilgisayar modellerinin bir kısmı neredeyse çok güzel çalışır gibi görünür—problem, bu programların neden bu kadar güzel çalıştıklarının kuramsal bilgisinin olmayışıdır. Eğer Ray’ın modelini bilgisayarınızda çalıştırırsanız, bu parazit ve hiper-parazitleri elde edersiniz, bütün bir ekolojiyi elde edersiniz. Bu yalnızca müthiş bir şeydir, fakat bir pür matematikçi olarak ben bunun kuramsal anlamını arıyorum. Ben bir organizmanın ne olduğunu tanımlama ile başlayan ve bu organizmanın karmaşıklığını nasıl ölçeceğimizi belirten, organizmaların evrimleşmeye mecbur olduklarını ve karmaşıklıkta artıklarını ispatlayabilen genel bir kuram arıyorum. Benim istediğim budur, hoş olmaz mıydı?

Bunu başarırsanız, evrim fenomeninin ne kadar genel olduğu ve evrende başka bir yerlerde yaşamın mümkün olup olmadığı konularını aydınlatırsınız. Elbette ki biz matematikçiler hiçbir zaman böyle bir kurama ulaşamazsak bile, belki başka yerleri ziyaret ederek orada yaşamın olup olmadığı keşfedebileceğiz... Fakat her nasılsa von Neumann bunu ilginç bir soru olarak öne sürdü ve aldatıcı gençliğim zamanında bana program-büyüklüğü karmaşıklığının evrim ile bir ilgisi olabileceğini düşündürdü. Fakat artık böyle düşünmüyorum; çünkü bu düşünceye herhangi bir yerde asla rastlamadım...

Dolayısıyla yapılabilecek çok ilginç çalışmalar olduğunu düşünüyorum! Ve heyecan verici bir zamanda yaşadığımıza inanıyorum. Aslında, bazen biraz daha fazla heyecan verici şeylerin bile olabileceğini de düşünüyorum!... Ve öyle tahmin ediyorum ki bu konuşma bundan yüz yıl sonra 2099’da verilseydi, orada matematiğin temelleri hakkında özetlenebilecek heyecan verici farklı kaygılar ve meşguliyetler ile birlikte başka bir tartışma olacaktı... Bundan yüzyıl sonra yapılacak konuşmanın neye benzeyeceğini  bilmek ilginç olurdu! Belki bazılarınız burada olacaksınız! Veya hatta konuşmayı siz sunarsınız! Çok teşekkürler! [Gülüşmeler & Alkışlar]

 

İlave Okumalar

1. G. J. Chaitin, The Unknowable, Springer-Verlag, 1999.

2. G. J. Chaitin, The Limits of Mathematics, Springer-Verlag, 1998.

 

 


* Finite versus Infinite [Sonlu versus Sonsuz]; C. Calude ve G. Paun, Springer-Verlag London, 2000, sayfa 75-100. 30 Nisan 1999 Cuma günü Lowell’daki Massachusetts Universitesinde verilmiş bir konferansın video kayıtlarının transkriptidir. Bu yazının başka bir versiyonu için bkz.  Complexity 5, No. 5 (May /June 2000), s. 12-21. http://www.umcs.maine.edu/~chaitin/lowell.html, 11.8.2000

[1] Bazı şeylerin yerli yerine oturmadığı, rahatsızlık verdiği manasında “Danimarka’da bazı şeylerin çürümüş olduğu” deyimi Amerika İngilizce’sinde (Shakespeare'in "Danimarka Prensi Hamlet'in Trajedisi" adli eserine referansla) kullanılmaktadır. Ç.N.

[2] Yazar, burada İngilizce bir tabir olan “rigor mortis”i (ölümden sonra vücudun katılaşmasını) kullanarak matematikteki rigor yani kesin, kati, katı yapıya göndermede bulunuyor. Ç.N.

[3] LISP (List Processing): 1959’da John McCarthy tarafından geliştirilen ve özellikle yapay zeka programlamasında kullanılan bir tür bilgisayar dili. Ç.N.

 

Kaynak: Chaitin, G. J. (2004). Matematigin Temelleri Üzerine Uyusmazlik Yüzyili. B. S. Gür (Ed.), Matematik Felsefesi içinde (s. 359-397), Kadim Yayinlari, Ankara, 2. Baski.

 






Bu sayfa hakkında yorum ekle:
İsminiz:
E-mail adresiniz:
Siteniz:
Mesajın:


Bugün 52 ziyaretçi (68 klik) kişi burdaydı!
=> Sen de ücretsiz bir internet sitesi kurmak ister misin? O zaman burayı tıkla! <=