En eski metinlerde bile görüldüğü gibi, matematiği diğer bilim dallarından ayıran şey deneyle olan ilişkisidir. Doğru, çember, sayı gibi somut bir nesneden hareket edildiği halde, deney hiçbir zaman ispat nedeni olarak kabul edilmez. Başka bilim dallarının tersine matematikte 'deneyerek doğrulayalım' denemez. Bu anlayışa göre nesnenin durumu nedir? Nesne sadece tanımıyla vardır ve bu tanım nesne hakkındaki herşeyi açıklar. Mesela, bir çember ve bir elektron arasında büyük bir fark vardır. Çember, matematikçinin tanımladığı bir nesneden başka birşey değildir. Beklenmedik hiç bir durum göstermez. Elektronsa, her yeni deneyde beklenmedik bir davranış biçimi ortaya koyabilir. Böylece tanımın önemi anlaşılıyor. Matematikte herşey 'ifade biçiminde' saklıdır. XIX.yy'da, Eukleidesçi olmayan geometrilerin bulunması sonucunda sezgisel davranıştan kaçınılması gerektiği anlaşıldı ve eskiden beri var olan bu zorunluluk daha da güçlendi. O zamandan başlayarak bilinen uygulamalardan esinlenerek, eksiksiz ve kesin bir matematik dili oluşturma ve açıklama amaçlandı.
Bu betimleme iki aşamada sağlanır. İlk aşamada kurulan cümleler arasındaki ilişkiler incelenir: bu önermeler hesabıdır. İkinci aşamada, bu cümlelerin veya önermelerin nasıl kurulduğu belirtilir; bu da açık önermeler hesabıdır.
Burada matematiksel düşünceye denk düşen, 'doğru - yanlış' gibi iki değerli bir mantığın bakış açısı söz konusudur; bu konuda iki değişik inceleme yapılır; biri bileşik önermenin hangi koşullar altında doğru olduğunu, doğruluk tablosu ile belirlemeyi amaçlar; diğeri kesin kurallarla kabul edilen veya daha önce ispat edilen formüllerden hareket ederek, yeni önermeler elde etmeye çalışır. Ve böylece 'tümdengelimi' kesin bir çerçeveye oturtur.
Doğal dil yalnız bu iki öğeye indirgenemez. Özellikle zarflar (belki, kesinlikle...) doğru düşünceyi dalgalandıran terimler içerir. Bunlar matematikte dikkate alınmaz.

MANTIK

Geleneksel olarak, eski Yunanlı düşünür Aristoteles'in Organon adlı eseri, mantık biliminin başlangıcı olarak kabul edilir. Bu eserde, çıkarsama modelleri kıyaslama (tasım) yöntemiyle, sistematik biçimde açıklanır. Matematikte önemli bir yeri olan, diğer bir yönüyle felsefeye bağlı bu çok görünümlü bilim dalını tanımlamak oldukça zordur. Matematikle ilgili yaklaşıma matematiksel mantık adı verilir. Ancak, matematiksel mantığın felsefi mantıkla ilişkisi hiçbir zaman kesilmemiştir. Eukleides'ten bu yana, matematikte sezginin rolünü mümkün olduğunca azaltan, çıkarsamaya önem veren, aksiyomlar ve tümdengelime dayanan bir model kabul edildi. XIX.yy'da Eukleidesçi olmayan geometrilerin bulunması sonucunda, aksiyonların kesin bir biçimde ifade edilmeleri zorunlu hale geldi; bunun için de, bir kanıtlamada söz konusu olan terimleri tanımlamak gerekiyordu. Bunlar arasında yazım kuralları, çeşitli doğru iddialar, tümdengelimin işleyiş biçimi sayılabilir.
Bu biçimsel matematik anlayışında, gerçek kavramına 'modeller kuramı' açısından yaklaşıldı; tümdengelim kavramı ise 'tümdengelimli sistemler kuramı' veya 'kanıtlama kuramı'na dayanılarak ele alındı. Bu iki yaklaşım çağdaş matematiksel mantığın temel taşlarıdır.
Yazımın, somut bir savı olduğu kadar, soyut bir gerçeği de belirtebileceğini göz önünde tutmak gerekir. Mesela 2 + 3 = 3 + 2 eşitliğinin doğru olduğu kanıtlanabilir; ama sezgisel olarak aynı anlamı taşıdığı anlaşılan x + y = y + x formülünün doğru olduğu kanıtlanamaz; çünkü kanıtlamak için bütün sayılarla denemek gerekir! Bu tip ifadeler kullanılmasaydı matematik çok fakir hale gelirdi. Aslında kurallar, soyut formüllerin kanıtlanmasına olanak verse de bazen, doğru veya yanlış olduğu bilinmeyen bir iddia ile karşılaşma tehlikesini tamamen yok etmez; belirsiz olarak nitelenen önermeler vardır ve mantığın özgün sonuçlarından biridir.
Sorulan bir başka soru da şudur: bir kuramda seçilen aksiyomlardan hareketle uygulanan tümdengelimin bir çelişkiyle sonuçlanamayacağından önceden emin olunabilir mi? Yanıt olumluysa, kuram tutarlıdır. Bir aksiyomlar sistemi göz önüne alındığında, bu sistemin tutarlı bir kuram sağladığı kanıtlanmalıdır. Ne var ki bu kanıtlama için hangi kuramdan yararlanmak gerekir? Yanıt şaşırtıcıdır. Ünlü 'Gödel Teoremi'ne (1931) göre aritmetiğin tutarlılığı aynı kuramda kanıtlanamaz; bunun için daha güçlü bir kuram gerekir.
Yalancı paradoksu veya otoreferans Antikçağ'dan beri bilinen bu paradoksun ilk ifadesi şu şekilde yapılmıştır: bütün Giritliler yalancıdır; Epimenides de Giritlidir; 'ben yalan söylüyorum' diyor. Epimenides doğruyu söylüyor mu? Hayır, çünkü Giritli'dir; o halde yalancıdır. Ama 'yalan söylüyorum' derken yalan söylüyorsa, o zaman doğruyu söylüyor. Bu durumda çelişki kaçınılmazdır. Ortaçağ'da, Fransız filozof Jean Buridan, paradoksun daha basit bir şeklini verdi. Şu cümleyi yazalım: "Burada yazılan cümle yanlıştır." Bu cümle doğru mudur? Yanlış olması koşuluyla, evet! Ancak o halde doğruluk sorusuna engel var demektir.
Bu paradoks, günümüzde 'otoreferans' denen problemi ortaya koydu. Jean Buridan'ın cümlesi kendisi hakkında bir yargı belirtiyor. Ama otoreferansın zorunlu olarak çelişkiye yol açtığı zannedilmesinin: 'ben' dendiğinde dilde, vardır; ama cümle kendi doğruluğu üzerinde bir yargı belirtiyorsa, çelişkiye varılabilir. Yalancı paradoksu; hem Russelş paradoksunun, hem de Gödel teoremlerinin temelini oluşturur.